矩阵地满秩分解.pdf

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1、§4.3矩阵的满秩分解本节讨论一个m´n复矩阵A可以分解为两个与A的秩相同的矩阵之积的问题。定义4.3.1设m´n复矩阵A的秩为r，如果存在两个与A的秩相同的复矩阵F与G，使得A=FG，则称此式为复矩阵A的满秩分解。当A是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A可以分解为单位矩阵与A自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。定理4.3.1设m´n复矩阵A的秩为r>0，则A有满秩分解。æGö证：因为rankA=r>0，对A施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵B=çç÷÷，è0ø其中G为r´n矩阵，并且rankG=r>0；因此存在着有限个

2、m阶初等矩阵之积，-1-1-1记作P，有PA=B，或者A=PB，将矩阵P分块为P=(FMS)，其中F为m´r矩阵，S为m´(n-r)矩阵，并且rankF=r，rankS=n-r。æGö-1则有A=PB=(FMS)çç÷÷=FG，其中F是列满秩矩阵，S是行满秩矩阵。▌è0ø但是，矩阵A的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r阶非奇异矩阵D，则有-1~~A=FG=(FD)(DG)=FG。æ-1012öç÷例1、求矩阵A=ç12-11÷的满秩分解。ç÷è22-2-1ø解：对矩阵A进行初等行变换æ-1012100öæ-101

3、2100öç÷ç÷æGö(AMI)=ç12-11010÷®ç0203110÷=B=çç÷÷ç÷ç÷è0øè22-2-1001øè00001-11øæ-1012öæ100öæ-1012öç÷ç÷其中G=çç÷÷所以B=ç0203÷，P=ç110÷；而è0203øç÷ç÷è0000øè1-11øæ100öæ10öç÷ç÷-1()P=ç-110÷=FMS，其中F=ç-11÷ç÷ç÷è-211øè-21øæ10ö-1æGöç÷æ-1012ö由此可见，所以有A=PB=(FMS)çç÷÷=FG=ç-11÷çç÷÷。è0øç÷è0

4、203øè-21ø109定义4.3.2设m´n复矩阵H的秩为r(r>0)，并且满足以下条件：1）矩阵H的前r行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后m-r行的元素均为零；2）如果矩阵H的第i行的第一个不为零的元素1在第j列(i=1,2,L,r)，i则j

5、列元素组成的列向量组线性无关。定义4.3.3以n阶单位矩阵I的n个列向量e,e,L,e为列构成的n阶矩阵n12nP=(e,e,L,e)叫做置换矩阵。其中j,j,L,j是1,2,L,n的一个全排列。j1j2jn12n定理4.3.2设m´n复矩阵A的秩为r(r>0)，矩阵A的Hermite标准形为H，则在矩阵A的满秩分解A=FG中，可以取矩阵F为A的j,j,L,j列构成的m´r列矩阵，G为H12r的前r行构成的r´n列矩阵。æ-1012öç÷例2、求矩阵A=ç12-11÷的满秩分解。ç÷è22-2-1ø解：先求出矩阵A的

6、Hermite标准形æ-1012öæ10-12öç÷ç÷A=ç12-11÷®ç01032÷=H，H的第1列与第2列构成I3的前两ç÷ç÷è22-2-1øè0000ø列，所以矩阵F为A的第1列与第2列构成的3´2矩阵，G为H的前2行构成的2´4矩æ-10öç÷æ10-12ö阵，即F=ç12÷，G=çç÷÷，ç÷è01032øè22øæ-10öç÷æ10-12ö所以A=FG=ç12÷çç÷÷。ç÷è01032øè22ø对比例1，可以看出矩阵A的满秩分解不唯一。110