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1、第二节函数的定义域和值域[备考方向要明了]考什么会求一些简单函数的定义域和值域.怎么考1.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．2.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.一、常见基本初等函数的定义域1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数的定义域均为.4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.不等于零大于或等于0RR5．y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为．6
2、．y＝tanx的定义域为．(0，＋∞)7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．答案：C[归纳领悟]1．函数有解析式时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值构成的集合．2．实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式的意义，还要看其实际意义．3．抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何关系，进而求解．答案：C答案：{x
3、x≥4且x≠5}C练习巩固答案：B[冲关锦囊]求具体函数y＝f(x)的定义域函数给出的方式确定定义域的方法列表法表中实数x的集合图象法图象在x轴上的投影所
4、覆盖实数x的集合解析法使解析式有意义的实数x的集合实际问题由实际意义及使相应解析式有意义的x的集合二、函数的值域1．函数f(x)的值域是函数值y的集合，记为{y
5、y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a＜0时，值域为．{y
6、y≠0}{y
7、
8、y>0}R[－1,1]RR函数值域或最值的常用求解方法直接法（观察法）答案：D答案：A2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y
9、－1≤y≤3}D．{y
10、0≤y≤3}B主要适用于可化为二次函数的函数，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，此时要特别注意自变量的范围；函数值域或最值的常用求解方法配方法答案：[－5，＋∞)基本不等式法函数值域或最值的常用求解方法主要有三角代换、二元代换、整体代换等．用换元法时一定要注
11、意新变元的范围；函数值域或最值的常用求解方法换元法B函数值域或最值的常用求解方法单调性法利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．函数值域或最值的常用求解方法反函数法导数法函数值域或最值的常用求解方法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值确定值域；主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)·x2＋b(y)·x＋c(y)＝0的函数y＝f(x)．在由Δ≥0且a(y)≠0
12、,求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x的值．函数值域或最值的常用求解方法判别式法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．常用于解答选择题、填空题或探究解题思路．函数值域或最值的常用求解方法数形结合法[归纳领悟]函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．求函数值域或最值的常用方法：①观察法；②换元法；③配方法；④根据单调性，求出函数的值域；⑤不等式法；⑥导数法(导数部分深叙)；⑦判别式法；⑧数形结合法．注意：(1)“求值有法，法
13、无定法”即求最值的方法多种多样，要根据实际情况选择恰当的方法来解决，不可生搬硬套．(2)求函数值域或最值，一定要注意到定义域的范围．(3)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)＜f(x
14、0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值．这些命题中，正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个C【解析】根据最大值的定义，对于①M可能是最大值，也可能是比最大值还大的数；②③则显然与最大值的定义是一致的，因此是正确的．[答案]B归纳小结求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依
