清华大学高等数值分析-第三次作业第八题.doc

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1、第三次作业第八题取b=(1,1,1,...1)T,x0=0，停机准则为10-6。1）当取A1=(aij)=1/(i+j-1)时，取阶数n=50，m=20时，得到收敛曲线如下结果表明，重启的GMRES算法没有重启就得到了非常精确的结果。这是由于该矩阵在n较小时的数值正定特性有关。取n=500m=20计算结果如下，该图为重启次数与残差之间的关系曲线可以看出，该方法重启100步都无法收敛到10-6。提高m的值为m=100，计算如下从结果中可以看出，第一次计算（未重启）就得到了精确的结果。该方法是数值qi下面将阶数增为1000，m=20计算如下图中可以看出，重启的GMRES已经无法收敛，并且

2、残差下降非常慢，没有再进行计算的必要。将m增为100，结果依然如前面，在一次重启就解出了结果。1）当取A=A2u当n=100时，对该矩阵使用GMRES方法，迭代20步即得到结果。使用GMRES(m)，当m=10时，重启一次即可得到类似精度的结果，与GMRES方法的迭代步数一致（但是GMRES(m)代价小）。u当n=500时，m=10时，重启一次得到结果，残差变化如下图n当n=500时，m=10时，收敛速度与前一次相同，重启动一次即可得到结果对于条件数较小，且规则的矩阵，求解速度很快，总迭代次数几乎不随m或n变化。1）对于A3矩阵，当n=1000阶时，当m=10时，经过九次重启即可得到

3、精确的结果，重启时的残差与重启次数的关系如下图总结：1.GMRES方法比GMRES(m)方法收敛性好，GMRES(m)方法延迟了收敛。2.但是GMRES方法随着迭代次数增大，代价急剧增大，求解越来越慢。GMRES(m)方法则可能在非常小的代价下求得适合精度的结果。3.GMRES(m)方法虽然代价小，但是求解结果不一定收敛，与m值的取值和本身的问题有关。4.GMRES和GMRES(m)方法均满足残差单调不增的原则，但是重启的GMRES(m)方法在重启点处可能会发生残差增大的现象。第三次作业第四题按照题目要求编程求解，得到的结果如下:l当n=100,m=10时，曲线的残差如下所示从图中可

4、以看出，方法仅在第一步减小，随着步长增加，残差rk以及x-x*不再变化，方法失效。l当n=100，m=100时，方法一步收敛，

5、

6、b-Axm

7、

8、以及

9、

10、xm-x*

11、

12、精度为机器精度。经过多次实验，改变n和m的值，总结实验现象如下：l在m