不等式证明中的函数构造法.pdf

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1、50中学数学教学2014年第3期不等式证明中的函数构造法广州市广外附设外语学校查建敏(邮编:510450)在高考的压轴题中经常会将数列求和与不研究f(x)的函数性质可得f′(x)=等关系的证明结合在一起,由于涉及数列求和的(x-1)22≥0,可知,f(x)在x>0的区间上单各种知识、方法与不等式放缩,去除常规的方法x(x+1)外,有时要通过构造数列、函数,建立不等关系来调递增,所以当x>1,有f(x)>f(1)=0,即有求解,其中的函数是如何发现与构造的呢?我们x-1lnx>,问题得解.x+1通过以下的两个例子的解题思路分析来揭示它111的奥秘与

2、大家分享.所以,ln(n+1)>++…+.352n+1111问题1求证:ln(n+1)>+++…评析解决本题的第一个关键是对ln(n+3571)的分拆,要将它看作是某一个数列的和,这里1+.是从对数的运算性质中联想得到了中间数列bn2n+11111n+1使得问题转化为研究b我们知道+++…+不能简=lnn≥an=3572n+1n11单求和,考虑简单放大,通项如何与ln(n;第二个关键是证明不等关系lnx>2n+12n+1+1)联系起来,无从下手.那么我们设想是否可x-1,从而构造出函数f(x)=lnx-x-1,证以找到一个中间数列{bn},使得,

3、x+1x+1明当x>1,有f(x)>f(1)=0.ln(n+1)=b1+b2+…+bn,且bn≥an实际上,为了降低考试的难度,在高考命题1=,中,通常需要设置一些台阶,以题组的形式出现2n+1根据对数的运算性质,分析联想有:来考察考生,本题可以改造为以下的命题:b1+b2+…+bn已知函数f(x)=lnx+a,(a∈R)x+123n+1=ln+ln+…+ln12n(1)当a=9时,如果函数g(x)=f(x)-k2=ln(n+1),仅有一个零点,求实数k的取值范围.n+1这样我们就找到了数列bn=ln,(2)当a=2时,试比较f(x)与1的大小;

4、nk+1(3)根据(2)的结论,求证:ln(n+1)>1进一步的问题要研究是否有ln+k31111>,++…+.2k+1572n+1再看一个类似的问题:k+11x-1于是令=x,则=.k2k+1x+1问题2设数列{an}的通项公式an=则问题转化为要有lnx>x-1,2n+1x+1的前n项和Sn,求证:Sn≥2ln(n+n因而我们构造函数f(x)=lnx-x-1,1).x+12014年第3期中学数学教学51再议一道课本习题的解法及推广安徽省阜阳市红旗中学张震吴冬梅(邮编:236112)文[1]和文[2],读后深受启发,文[1]提供若α=-1,β=

5、3,的解法略显繁琐,文[2]指出的解法简洁尚存较则an+1+an=3(an+an-1)(n≥2).高的技巧性,在应用上有一定的难度,下面笔者n=2时,a2+a1=7≠0,给出一些简洁而易想的解法,并以此给以推广.n-1∴an+1+an=7·3.①题已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=若α=3,β=-1,∗),对于这个数列的则a(a)(n≥2).2an-1+3an-2(n≥3,n∈Nn+1-3an=-n-3an-1通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?n=2时,a2-3a1=-13≠0,解法1待定系数法n-1,②∴an+1-3an=-1

6、3×(-1)∗)n-1n-1an=2an-1+3an-2,(n≥3,n∈N7·3+13·(-1)①-②,an=.∗)4an+1=2an+3an-1,(n≥2,n∈N设待定系数为α、β,则an+1-αan=β(an推广已知a1、a2及an+1=Aan+Ban-1(n∗,A、B为常数)求a-αan-1),≥2,n∈Nn.即an+1=(α+β)an-αβan-1,解引入待定系数α、β,∗,A、B为α+β=2,an+1=Aan+Ban-1(n≥2,n∈N∴{常数)③αβ=-3,∴α=-1,β=3,或α=3,β=-1.∴an+1-αan=β(an-αan-

7、1)④■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■2=2ln(n+1).类似地我们也可以编制出这分析由上例已知b1+b2+…+bn=ln1样的命题:3n+1+ln+…+ln=ln(n+1),已知函数f(x)=px-p-lnx(p>0)2n是增函数,问题转化为证明an≥2bn,(1)求实数p的取值范围;2n+12n+12n+1即an==2≥ln(2+2n+1nnn(2)设数列{an}的通项公式an=nn+11)=2ln,的前n项和Sn,求证:Sn≥2ln(n+1).n通过以上的事例我们看到构造函数,

8、根据函从而我们先要证明x≥ln(x+1).数性质建立不等关系是不等式证明中的一种重因此构造函数f(x)=x-ln(x+1),要方法,也是