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1、二项式定理习题精选一、与通项有关的一些问题例1．在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，2）第4项的系数，3）求常数项解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.1），二项式系数为；2）由1）知项的系数为；3）令6-3r=0,∴r=2,∴常数项为.例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析:通项为,∵前三项的系数为，且成等差，∴即解得:n=8.从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.125例3．1）求的常数项；2）求(x+3x+2)的展开式中x的系数.解:1）通项，令6-2r=0,r=3,∴常数项为.25552）(x+3
2、x+2)=(x+1)(x+2)555∴展开式中含x项由(x+1)中常数项乘(x+2)的一次项与(x+1)的一次项乘5(x+2)的常数项相加得到，即为，因而其系数为240.10532例4．(a+b+c)的展开式中，含abc的系数为_________.10分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)的十个因式中选出5个因式中的a，532三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而abc的系数为.小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决.3451003例5．(1+x)+(1+x)+(1+x)+……+(1+x)的展开式中x的系
3、数为______.33分析:（法一）展开式中x项是由各二项展开式中含x项合并而形成.因而系数为（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=,34要求x项只要求分子的x项，因而它的系数为.2二、有关二项式系数的问题.lgx8例6．(2x+x)的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.分析:二项式系数最大的为第5项，解得:x=1或.例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.设第r+1项的系数最大，则解得:，∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，因而第8项系数最大.
4、三、赋值法:例8．已知1）求a0,2）求a1+a2+a3+a4+a5223）求(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)4）求a1+a3+a55）
5、a0
6、+
7、a1
8、+……+
9、a5
10、5分析:1）可以把(1-2x)用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,5∴(1-0)=a0,∴a0=1.352）令x=1,则(1-2)=a0+a1+a2+a3+a4+a5又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2.3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1(*)5令x=-1,得3=a0-a1+a2-a3+a4-a5(**)
11、22因而,(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.5）5因而
12、a0
13、+
14、a1
15、+……+
16、a5
17、即为(1+2x)的展开式的所有系数和，55∴
18、a0
19、+
20、a1
21、+……+
22、a5
23、=(1+2)=3=243.小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解；②赋值法也需合情合理的转化.例9．已知,其中b0+b1+b2+……+bn=62,则n=_________.分析:令x=1，则,n+1n+1由已知，2-2=62,∴2=64,∴n=5.例10．求的展开式中有理项系数的和.分析:研究其通项.n显然当r=2
24、k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)的奇数项的系数和.n2n设(2+t)=a0+a1t+a2t+……+ant,4n令t=1，即3=a0+a1+a2+……+ann令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)an上两式相加，解得奇数项系数和.四、逆用公式432例11．求值S=(x-1)+4(x-1)+6(x-1)+4(x-1)+1解:例12．求值:分析:注意将此式还原成二项展开式的结构原式=五、应用问题2n+2例13．求证:3-8n-9能被64整除.证明:能被64整除.92例14．91除以100的余数为________.929
25、2分析:91=(90+1)92∴被91100除的余数为81.9292小结:若将91整理成(100-9)592随之而来又引出一新问题，即9被100除的余数是多少，所以运算量较大.3例15．求0.998的近似值（精确到0.001)解:典型例题例1、已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。解：二项展开式的通项公式为由此得二项展开式中末三项的系数分别为，，依题意得注意到这里，故得n=8∴设第r+1项为有理项，则有x的幂指数为整数，∴r=0，4，8，∴这里T1，T5，T9为有理项，又由通项公式得：，，∴所求二项展开式中的有理项
26、分别为，，点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若（λ为相对常数，x为变量）
