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1、二项式定理习题精选 一、与通项有关的一些问题 例1．在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，2）第4项的系数，3）求常数项 解:展开式的通项为展开式中的第r+1项. 1），二项式系数为； 2）由1）知项的系数为； 3）令6-3r=0,∴r=2,∴常数项为. 例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析:通项为, ∵前三项的系数为，且成等差， ∴ 即解得:n=8. 从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除. 18例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数. 解:1） 通项， 令6-2r=0, r
2、=3, ∴常数项为. 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 ∴展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240. 例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________. 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为. 小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决. 例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(
3、1+x)100的展开式中x3的系数为______. 分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为 （法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式: 原式=, 要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为. 二、有关二项式系数的问题. 例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____. 分析:二项式系数最大的为第5项， 解得:x=1或.18 例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大， 则解得:， ∴r
4、=7，且此时上式两个等号都不能取得， 因而第8项系数最大. 三、赋值法: 例8．已知 1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）求a1+a3+a5 5）
5、a0
6、+
7、a1
8、+……+
9、a5
10、 分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解. 从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, ∴(1-0)5=a0,∴a0=1. 2）令x=1,则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令x=1，得a0+a
11、1+a2+……+a5=-1(*) 令x=-1,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5(**) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而
12、a0
13、+
14、a1
15、+……+
16、a5
17、即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， ∴
18、a0
19、+
20、a1
21、+……+
22、a5
23、=(1+2)5=35=243. 小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ②赋值法也需合情合理的转化. 例9．已知, 其中b0+b1+b2+……+bn=62,则n=_________. 分析:令x=1，则, 由已知，2
24、n+1-2=62, ∴2n+1=64, ∴n=5. 18例10．求的展开式中有理项系数的和. 分析:研究其通项. 显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和. 设(2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn, 令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an 令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan 上两式相加，解得奇数项系数和. 四、逆用公式 例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 解: 例12．求值: 分析:注意将此式还原成二项展开式的结构
25、原式= 五、应用问题 例13．求证:32n+2-8n-9能被64整除. 证明: 能被64整除. 例14．9192除以100的余数为________. 分析:9192=(90+1)92 ∴被9192100除的余数为81. 小结:若将9192整理成(100-9)92 随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.18 例15．求0.9983的近似值（精确到0.001)解:典型例题 例1、已知二项式
