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1、第二章一阶微分方程的初等解法x2-1已知f(x)∫f(t)dt=1,x≠0,试求函数f(x)的一般表达式。0x解对方程f(x)∫f(t)dt=1，两边关于x求导得0x2f′(x)∫f(t)dt+f(x)=0，0即12f′(x)+f(x)=0，f(x)分离变量，可求得1f(x)=±，2(x+C)1代入原方程可得C=0，从而f(x)的一般表达式为f(x)=。2x评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。x(t)+x(s)2-2求具有性质x(t+s)=的函数x(t)，已知x′(0)存在。1−x(t)x(s)解由导数的定义可得x(t+
2、s)−x(t)x′(t)=lims→0s2x(s)+x(t)x(s)=lims→0[1−x(t)x(s)]s21+x(t)x(s)=lim⋅，s→01−x(t)x(s)s显然可得x(0)=0，故2x(s)−x(0)2x′(t)=[1+x(t)]⋅lim=x′(0)⋅[1+x(t)]s→0s分离变量，再积分可得x(t)=tan[x′(0)t+C]，再由x(0)=0，知C=0，从而x(t)=tan[x′(0)t]。评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。2-3若M(x,y)x+N(x,y)y≠0，证明齐次方程M(x,y)
3、dx+N(x,y)dy=0有积分因1子。xM(x,y)+yN(x,y)证方法1用凑微分法求积分因子。我们有恒等式M(x,y)dx+N(x,y)dy1dxdydxdy={(M(x,y)x+N(x,y)y)(+)+(M(x,y)x−N(x,y)y)(−)}2xyxy而dxdy+=dln(xy)，xydxdyx−=dln，xyy所以原方程变为1x{(M(x,y)x+N(x,y)y)dln(xy)+(M(x,y)x−N(x,y)y)dln}=0。2y1用µ(x,y)=乘上式两边，得M(x,y)x+N(x,y)y11M(x,y)x−N(x,y)yxdln(xy)+dln=0，
4、22M(x,y)x+N(x,y)yyM(x,y)x−N(x,y)yxx由于为零次齐次函数，故它可表成的某一函数，记为f()，M(x,y)x+N(x,y)yyyxM(x,y)x−N(x,y)yxlnyx=f()=f(e)=F(ln)，M(x,y)x+N(x,y)yyy原方程进一步可改写成11xxdlnxy+F(ln)dln=0，22yy1它为一个恰当方程，表明µ(x,y)=为齐次方程的积分因子。M(x,y)x+N(x,y)y方法2化为分离变量方程求积分因子。设M(x,y),N(x,y)是m次齐次函数，则令y=ux，dy=xdu+udx，有mmM(x,y)=M(x,xu
5、)=xM(1,u),N(x,y)=N(x,xu)=xN(1,u),将其代入原方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0中，得mx{[M(1,u)+N(1,u)u]dx+xN(1,u)du}=0，可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子11µ(x,y)==，m+1x[M(1,u)+uN(1,u)]xM(x,y)+yN(x,y)方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是1µ(x,y)=。xM(x,y)+yN(x,y)方法3用定义求积分因子。1由积分因子的定义，只需证明二元函数µ(x,y)=满足xM(x,y)+yN(x,y)∂(µM)∂(
6、µN)=即可。为此，我们计算∂y∂xM∂()∂(µM)xM+yN=∂y∂y1∂M∂(xM+yN)=[(xM+yN)−M]2(xM+yN)∂y∂y1∂M∂N=[yN−yM−NM]，2(xM+yN)∂y∂yN∂()∂(µN)xM+yN=∂x∂x1∂N∂(xM+yN)=[(xM+yN)−N]2(xM+yN)∂x∂x1∂N∂M=[xM−xN−NM]，2(xM+yN)∂x∂x∂(µM)∂(µN)−∂y∂xx(NM−MN)+y(NM−MN)xxyy=，2(xM+yN)dyM(x,y)My由于=−为齐次方程，令=g()dxN(x,y)Nx显然yy1g()=−g′=(MN−NM)，
7、x22xxxxNy11g()=g′=(MN−MN)，y2yyxxN故2xy2y2yy−Ng′+Ng′N(−)g′∂(µM)∂(µN)x2xxx−===0，22∂y∂x(xM+gN)(xM+gN)因而µ是齐次方程的积分因子。评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个1积分因子µ(x,y)=，将其转化为恰当方程来求解。xM(x,y)+yN(x,y)dy12-4解方程=。33dxxy+xy解由题得dx33=xy+xy，dy这是以x为未知函数和以
