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《工程数学复变函数习题答案(第四版).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章!复数与复变函数内容提要一!复数及其代数运算和几何表示!!"复数的概念定义!设!!"都是实数!我们把形如##!$$"的表达式称为复数%其中$称为虚数单位!且具有性质$&#’!!!和"分别称为复数#的实部和虚部!记为!#()"##!"#*+"##%"!#当!#,!"",时!##$"称为纯虚数%"&#当"#,时!##!$,$$视为实数!%"-#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!##&!当且仅当!!#!&!"!#"&%".#当!#"#,时!称##,%&"复数的运算"!#加"减#法两个复数的加"减#法!定义为实部与实部相加"减#及虚部与虚部相加"减#!即$
2、!$!!复变函数同步辅导及习题全解"!#/"!##"!#$$""#%!$$"!&$$"&!/!&!/"&"&#乘法两个复数相乘按多项式乘法法则相乘并注意$&#’!!即"!!$$"!#$"!&$$"&##"!!!&’"!"&#$$"!!"&$!&"!#%"-#除法若#&",!将满足#&$###!的复数#定义为#!除以#&的商!#!记为##!即#&#!!!$$"!!!!&$"!"&!&"!’!!"&##&&$$&&%#&!&$$"&!&$"&!&$"&".#复数的共轭及性质设##!$$"!称!’$"为复数#的共轭复数!记为#或#!即##!’$"!它有如下性质%##!#!!
3、#!/#&##!/#&!#!#&##!!#&!#"#&",#&"#&##&&&&"###!###’()"##($’*+"##(!!#()"###"#$##!*+"###"#’##%&&$-"复数的几种表示方法"!#复数的坐标表示每一个复数##!$$"确定平面上一个坐标为"!!"#的点!反之亦然!这意味着复数集与平面上的点之间存在一一对应%由于这个特殊的一一对应存在!我们常把以!为实轴!"为虚轴的平面称之为复平面%"!!"#为复数##!$$"的坐标表示形式!称为点#%"&#复数的向量表示记复数##!$$"在平面上确定的点为&!原点为’%设复数#对应向量’%&$%这也是一
4、个特别的一一对应%为此我们称向量’%$&为复数#的向量表示式%$"$第一章!复数与复变函数向量’%$&的长度称为复数#的模或绝对值!记为&#&!我们有结论%&&!!###&#&#&#&%当#",时!以正实轴为始边!向量’%$&为终边所确定的角!称为复数#的辐角!记为!!012##!%当##,时!辐角不确定%012#是一个多值函数%称满足条件’$’!($的!为幅角的主值!记为312#%从而有!!012##312#$&($!!"(#,!/!!/&!)#利用复数的向量表示法对任意复数#!#!三角不等式!&!!&#!$#&&(&#!&$&#&&的意义为三角形的一边不大于两边之
5、和!不等式!!&#!’#&&)&&#!&’&#&&&表示三角形的一边不小于两边之差的绝对值%"-#复数的三角表示设#",!)是#的模!!是#的任意一个辐角%则##)"456!$$678!#%".#复数的指数表示在三角表式示中!利用欧拉公式%)$!#456!$$678!可得$!!##))称为复数#的指数表示式%以上复数的不同表示法仅是形式上的差异!它们各有其特点%复数及其运算的几何解释可以从向量表示法得到!复数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法得到%."复数的乘幂与方根"!#积与商$!$!设#!#)!)!!#&#)&)&则$#$!!复变函数同步辅导及习题全解
6、$"!$!##!)!$"!’!##!#&#)!)&)!&!#)!&!")&",#%#&)&即#!&#!&!&#!#&&#&#!&&#&&!#!"#&",#&#&&#&&#!"012"#!#&##012#!$012#&!012#012#!’012#&%"#&#注意%"%#正确理解等式"的含义&"&#乘积与商的几何解释%"&#乘幂设##))$!!则#**7*!*"456*!$$678*!#%棣莫弗"9):;#))#)*5$+1)#公式%"456!$$678!##456*!$$678*!及其应用%"-#方根$!**$!$&($*!$&($!$&($设##))!则!##!))
7、*#!)"456$$678#**!"(#,!!!&!)!*’!#%*注意%!#的*值性及几何解释%二!复变函数及其极限与连续!%复变函数的概念复变函数是高等数学中一元实变函数概念的推广!二者定义的表述形式几乎完全一样!只要将定义中的*实数"或实数集#+换为*复数"或复数集#+就行了%但对下面几点应多加注意%"!#实变函数是单值函数!而复变函数有单值函数和多值函数之分%"&#复变函数,#-"##是从#平面上的点集.到,平面上的点集.#的一个映射!因此!它不但可以把#平面上的点映射"或变换#为,平面上的点!而且可以把#平面上的曲线或图形映射为,平面上的曲
