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《复变函数(第四版)课后习题答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。113i(3+4i)(2−5i)821（1）；（2）−；（3）；（4）i−4i+i3+2ii1−i2i13−2i1解（1）==()3−2i3+2i()3+2i(3−2i)13所以⎧1⎫3⎧1⎫2Re⎨⎬=，Im⎨⎬=−,⎩3+2i⎭13⎩3+2i⎭132211()1⎛3⎞⎛3⎞13=3+2i，=⎜⎟+⎜−⎟=，3+2i133+2i⎝13⎠⎝13⎠13⎛1⎞⎛1⎞Arg⎜⎟=arg⎜⎟+2kπ⎝3+2i⎠⎝3+2i⎠2=−arctan+2kπ
2、,k=0,±1,±2,?313i−i3i(1+i)135（2）−=−=−i−()−3+3i=−i,i1−ii()−i()1−i(1+i)222所以⎧13i⎫3Re⎨−⎬=,⎩i1−i⎭2⎧13i⎫5Im⎨−⎬=−⎩i1−i⎭222⎛13i⎞3513i⎛3⎞⎛5⎞34⎜−⎟=+i，−=⎜⎟+⎜−⎟=，⎝i1−i⎠22i1−i⎝2⎠⎝2⎠2⎛13i⎞⎛13i⎞Arg⎜−⎟=arg⎜−⎟+2kπ⎝i1−i⎠⎝i1−i⎠5=−arctan+2kπ,k=0,±1,±2,?.3()3+4i(2−5i)()3+
3、4i(2−5i)(−2i)(26−7i)(−2i)（3）==2i()2i(−2i)4−7−26i7==−−13i22所以⎧()3+4i(2−5i)⎫7Re⎨⎬=−，⎩2i⎭2⎧()3+4i(2−5i)⎫Im⎨⎬=−13，⎩2i⎭1⎡()3+4i(2−5i)⎤7⎢⎥=−+l3i⎣2i⎦2()3+4i(2−5i)529=，2i2⎡()3+4i(2−5i)⎤⎡()3+4i(2−5i)⎤26Arg=arg+2kπ=2arctan−π+2kπ⎢⎥⎢⎥⎣2i⎦⎣2i⎦726=arctan+()2k−1π,k=
4、0,±1,±2,?.782124210410（4）i−4i+i=(i)−4(i)i+i=()−1−4()−1i+i=1−4i+i=1−3i所以{821}{821}Rei−4i+i=1,Imi−4i+i=−3⎛⎜i8−4i21+i⎞⎟=1+3i，
5、i8−4i21+i
6、=10⎝⎠821821Arg(i−4i+i)=arg(i−4i+i)+2kπ=arg(1−3i)+2kπ=−arctan3+2kπk=0,±1,±2,?.x+1+i(y−3)2．如果等式=1+i成立，试求实数x,y为何值。5+3i解：由
7、于x+1+i(y−3)[x+1+i(y−3)](5−3i)=5+3i()5+3i(5−3i)5(x+1)+3(y−3)+i[−3(x+1)(+5y−3)]=341=[]5x+3y−4+i()−3x+5y−18=1+i34比较等式两端的实、虚部，得⎧5x+3y−4=34⎧5x+3y=38⎨或⎨⎩−3x+5y−18=34⎩−3x+5y=52解得x=1,y=11。-13．证明虚单位i有这样的性质：-i=i=i。4．证明21)
8、zz
9、=z@116)Re(zz)=(+=z),Im(z)(z−z)22i2证明
10、：可设zx=+iy，然后代入逐项验证。225．对任何z，z=
11、z
12、是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对z那些值才成立？22解：设zx=+iy，则要使z=
13、z
14、成立有22222222x−+yx2iy=x+y，即xy−=x+y,xy=0。由此可得z为实数。n6．当
15、z
16、≤1时，求
17、z+a
18、的最大值，其中n为正整数，a为复数。argai解：由于zn+a≤
19、z
20、n+
21、a
22、≤1+
23、a
24、，且当z=en时，有narga⎛i⎞
25、zn+a
26、=⎜en⎟+
27、a
28、eiarga=()1+aeiarga=1+
29、a
30、⎜⎟
31、⎝⎠故1+
32、a
33、为所求。8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-1；（3）1+3i；()22icos5ϕ+isin5ϕ（4）1−cosϕ+isinϕ(0≤ϕ≤π)；（5）；（6）3−1+i()cos3ϕ−isin3ϕπππi解：（1）i=cos+isin=e2；22iπ（2）−1=cosπ+isinπ=eπ⎛13⎞⎛ππ⎞i（3）1+i3=2⎜+i⎟=2⎜cos+isin⎟=2e3；⎜⎝22⎟⎠⎝33⎠2ϕϕϕϕ⎛⎞ϕϕ（4）1−+cosϕϕisin=2sin+i2sincos
34、=2sin⎜⎟sin+icos2222⎝⎠22π−ϕϕ⎛π−ϕπ−ϕ⎞ϕi=2sincos+isin⎟=2sine2,(0≤ϕ≤π)；⎜2⎝22⎠22i1⎛11⎞（5）=2i()−1−i=1−i=2⎜−i⎟⎜⎟−1+i2⎝22⎠⎛ππ⎞=2⎜cos−isin⎟⎝44⎠π−i=2e42()cos5ϕϕ+isin5i5ϕ23−−i3ϕϕi10i9ϕi19ϕ（6）3==()e/(e)e/e=e()cos3ϕϕ−isin33=cos19ϕ+isin19ϕ9．将下列坐标变换公式写成复数的形式
