线性代数复习提纲(打印版).pdf

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1、《线性代数》复习提纲第一部分：基本题型1.行列式的计算（3,4，n阶）；2.矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；3．求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；4.求矩阵的行列式；5.讨论一个向量能否用一向量组线性表示；6.讨论或证明向量组的线性相关性；7.求向量组的极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示；8.齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解、基础解系、通解）；含参数的线性方程组解的讨论并求解；9.将线性无关组正交化、单位化；10.求方阵的特征值和特征向量；11.讨论一般方阵能否对角化，如能，写出相似变换的矩阵及对角阵；12.通过正交相似变

2、换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；13.写出二次型的矩阵，将二次型标准（规范）化，并写出变换矩阵。14.判定二次型或对称矩阵的正定性。15.矩阵的相等、等价、相似与合同以及相关的性质与结论。第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义与性质（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算二、三阶行列式的对角线法则；n阶（n3）行列式的计算：降阶法，按一行列展开定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理

3、展开降阶。特殊情况：（1）三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：0（1）行列式某行（列）元素全为0；0（2）行列式某行（列）的对应元素相同；0（3）行列式某行（列）的元素对应成比例；0（4）奇数阶的反对称行列式。二．矩阵1．矩阵的基本概念（特殊：单位矩阵、数量、对角、对称矩阵与初等矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、性质；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律；②矩阵乘法一般不满足消去律、AB0可能A0,B0；n③若A、B为同阶方阵，则ABABkA，kA3．矩阵的秩（1）定义:行秩、列秩

4、；非零子式的最大阶数；（2）秩的求法:按定义；或根据矩阵的初等变换不改变矩阵的秩而利用初等变换将矩阵化为阶梯阵（阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数）。4．逆矩阵（1）定义111T11T（2）性质：(AB)BA,(A)(A)（3）可逆的条件：000（1）A0；（2）R(A)=n;（3）AE0（4）A可以写成若干个初等矩阵的乘积；（4）逆的求法：伴随矩阵法11*；AAA初等变换法初等行变换1(AE)(EA)5．用逆矩阵求解矩阵方程：AXBXAB1，1XABXBA11AXBCXACB三、向量组的线性相关性1．n维向量的定义注：向量

5、实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；T（2）向量内积[,]ab11ab22abnn（3）向量长度T222aaa12n1（4）向量的单位化；（5）线性无关向量组的正交化（施密特方法）3．线性组合（1）定义；（2）判别方法：将向量组合成矩阵，记A＝(1,2,,n)，B=(1,2,,n,)若R(A)=R(B)，则可以用向量组,,,线性表示；12n若R(A)R(B)，则不能用向量组,,,线性表示。12n（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行初等行

6、变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。或解非齐次线性方程组xxx1122nn4．向量组的线性相关性（1）定义（2）判别方法：①R(,,,)

7、方程组解的判定RAb(,)RA()无解定理：RAb(,)RA()n唯一解RAb(,)RA()n无穷多个解特别地：对齐次线性方程组AXO，rA()n，只有零解rA()n，有非零解；2．齐次线性方程组（1）解的情况：R(A)=n，（或系数行列式D0）只有零解；R(A)