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1、2014－2015学年线性代数复习提纲《线性代数》复习提纲一、题型：选择题：10二、填空题（每空3分，5空，共15分）三、计算：（每小题12分，共24分）2*12，13分；12分；四、证明计算题：2*8分1、行列式2、矩阵3、基础解系与通解4、求一个最大无关组，并把其余向量表示为这个最大无关组的线性组合.5、求可逆矩阵和对角矩阵.6、会证明线性相关与无关．试题：如下4−21x11x−131、行列式中项的x系数是___________．02x30x012x⎛200⎞⎛321⎞⎜⎟⎜⎟−1−12、设A=⎜030⎟,B=⎜313⎟,C=AB,，则C中第3行第2列⎜⎟⎜⎟⎝004⎠⎝312⎠元素是_
2、___________．2123．方程23x=0的根为_____________．223x−1A=A4．A为3阶矩阵，且满足3,则=______，*3A=。12014－2015学年线性代数复习提纲⎛⎞1⎛⎞0⎛⎞2⎛⎞1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟α=1α=2α=4α=21⎜⎟2⎜⎟3⎜⎟4⎜⎟⎜⎟⎝⎠1，⎜⎟⎝⎠5，⎜⎟⎝⎠7，⎜⎟⎝⎠0是线性5．向量组（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。η,,ηη6．已知123是四元方程组Ax=b的三个解，其中A的秩⎛⎞1⎛⎞4⎜⎟⎜⎟24η=⎜⎟ηη+=⎜⎟123⎜⎟3⎜⎟4⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟R()A=3，⎝⎠4，⎝⎠4，则方程组Ax=b的通解为。⎡231
3、−⎤⎢⎥Aa=11⎢⎥⎢⎣503⎥⎦7．设，且秩(A)=2，则a=。cdLddcLd8.计算n阶行列式D=nLLLLddLc29.设A,B均为3阶矩阵，且满足AB+E=A+B，若矩阵⎛302⎞⎜⎟A=⎜040⎟，求矩阵B。⎜⎟⎝−202⎠⎛1⎞⎛3⎞⎛9⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟10.已知向量组α1=⎜2⎟,α2=⎜0⎟,α3=⎜6⎟和⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−3⎠⎝1⎠⎝−7⎠⎛0⎞⎛a⎞⎛b⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟β1=⎜1⎟,β2=⎜2⎟,β3=⎜1⎟；已知β3可以由α1,α2,α3线性表示,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−1⎠⎝1⎠⎝0⎠22014－2015学年线性代数复习提纲且α,α,α与β,β,β具有相同的秩,求a,b的值。1
4、23123⎛1⎞⎛0⎞⎛2⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜−1⎟⎜3⎟⎜−5⎟⎜5⎟⎜−2⎟11、已知向量组α=,α=,α=,α=,α=1⎜2⎟2⎜1⎟3⎜3⎟4⎜4⎟5⎜2⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝4⎠⎝2⎠⎝6⎠⎝8⎠⎝0⎠（1）求向量组α,α,α,α,α的秩以及它的一个极大线性无12345关组；（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。⎛−1−4⎞⎛−10⎞−112、设矩阵P=⎜⎟,D=⎜⎟，矩阵A由关系式PAP=D确⎜⎟⎜⎟⎝11⎠⎝02⎠5定，试求A13、求方程组：⎧x1+2x2+x3−x4=0,⎪⎨3x1+6x2−x3−3x4=0,⎪5x+10x+x
5、−5x=0.⎩1234的基础解系与通解．14、p77-78页例1-2、4⎧2x1−x2+3x3−x4=1⎪⎪3x1−2x2−2x3+3x4=315、给定线性方程组⎨⎪x1−x2−5x3+4x4=2⎪⎩7x1−5x2−9x3+10x4=8（1）利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，并表达出线性方程组的一般解；（2）求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系，表示出线性方程组的全部解。16、设A为三阶矩阵，αα,为A的分别属于特征值−1,1的特征向量，向12量α满足Aααα=+．证明ααα,,线性无关．332312332014－2015学年线性代数复习提纲⎛423⎞⎜⎟T−11
6、7、设A=⎜110⎟，且AX=A+2X。（1）计算AA；（2）(A−2I)；（3）⎜⎟⎝−123⎠求矩阵X。⎧xxk++x=412318、k取何值时，线性方程组⎨⎪−x++kxx=k2有唯一解、无解、123⎪xxx−+24=−⎩123有无穷多组解？并在有无穷多解的情况下，求出其通解。19、求下列向量组的秩与它的一个极大线性无关组，并用极大无关组表示该组中的其余向量。TTTα=−−(1,2,1,0,2),α=−(2,4,2,6,6),−α=−(2,1,0,2,3),123Tα=(3,3,3,3,4).4⎧2x1−x2+3x3−x4=1⎪⎪3x1−2x2−2x3+3x4=320、给定线性方程组⎨
7、⎪x1−x2−5x3+4x4=2⎪⎩7x1−5x2−9x3+10x4=8（1）利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，并表达出线性方程组的一般解；（2）求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系，表示出线性方程组的全部解。21、设α,αα为Ax=0的基础解系。证明β=α+2α，12,3112β=2α+3α，β=3α+α也是Ax=0的基础解系。2233314
