数分期中考题-(2013-2014第一学期).pdf

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1、北京航空航天大学2013－2014学年第一学期期中《工科数学分析(I)》试卷班号学号姓名成绩题号一二三四五六七总分成绩阅卷人校对人2013年11月27日一（总8小题，每小题5分，共40分）n!1．用“e-N”定义证明：lim0.nnn1证明：0,取N[]1,则nN时，n!nn(1)2110nnnnnnn12x1cosx2．计算极限lim(1xe).x02xxe22xxlimln(1xe)ln(1xe)x012limxlime1cosxxex01cose2e2解：原式x0xtarctandydy23

2、．设,求,.22ytln(1)dxdxdy2tdydt1t2解：2;tdxdx12dt1t2dyddydt(2)dt122()22(1t).dx2dxdxdtdxdx12dt1t1()n4.求函数fx()=的n阶导数fx().2xx+-2311111n11解：fx()()(1)n![]2nn11x2x34x1x34(x1)(x3)2xcosxe25.利用Taylor展开式，求极限lim.4x0x2解：24xx4cosx1ox()2!4!2x222xx124e1()()ox()2

3、2!224xx41ox()2821144x2()xox()cosxe4!81limlim.44xx00xx126.求函数y=+xxx的微分dy.11解：yxxx(1),2xx2xxxdy()xxdx24xxxxxxe,0x，7.讨论函数fx()在x=0处的连续性和可导性.2ax,0x，x2解：lim()fxlimxe0,lim()fxlimax0,x0x0x0x0lim()fxlim()fx0f(0),从而fx()在x=0处连续.xx00xf(0x)f

4、(0)xef(0)limlim1,xx00xx2f(0x)f(0)axf(0)limlim0,xx00xxff(0)(0),从而fx()在x=0处不可导.18.求证:方程xx++3cos=0有且只有一个实根.231证明：设fx()x3cos,x则fx()在(,)连续，2且lim()fx,lim()fx.xx1又因为在(,)上，fx()1sinx0,即函数fx()严格单调递增,21所以方程xx++3cos=0有且只有一个实根.2二．（本题10分

5、）（1）证明：ln(1+x)0);（2）设x11>0,xnn+=ln(1+x)(n=1,2,...),证明：limxn0;n（3）利用Stolz定理证明：limnx2.nn1证明：（1）设ft()ln(1t)tt,(0)则ft()10,(t0)1t从而ft()在[0,]x上严格单调递减，fx()f(0)0，即x0时，ln(1xx).（2）x0，则x0，且由（1）的结论，xln(1x)xn(1,2,...),即数列{x}1nn1nnn单调递减，由单调有界必有极限{xn}收敛，假设limxAn,则xxnn

6、1ln(1)两边取极限n得，AAln(1),显然A0.(3)因为limx0,由STOLZ定理，nn1111xxxxxxxln(1)nnn11nnnn11limlimlimlim=limnnxnnnn(n1)nxxnxxln(1)nnn1nn1111xln(1x)xln(1x)1x1而limlimlim,2xxx000xln(1x)x2x211所以lim,即limnx2.nnnx2nn三、（本题10分）设数列baaaaaa,n1,2,且{}b

7、有界，证明：数列{}a与n2132nn1nn4{}b都收敛．n证明：（1）因为{}b是递增有界数列，有单调有界定理，数列{}b收敛.nn（2）由（1），由数列极限的柯西准则（必要性），0,N,nN,对任何正整数p,有

8、bb

9、,即npnaaaaLaa,npnp1np2np3n1n于是有aa

10、

11、aaaaLaanpnnpnp1np1np2n1n

12、aa

13、

14、aa

15、L

16、aa

17、npnp1np1np2n1n.于是由数列极限的柯西准则（充分性），可