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1、2.4指数生成函数2.4.1指数生成函数的定义2.4.2指数生成函数的运算2.4.3指数生成函数ex2.4.4指数生成函数展开式2.4.5不同球分配到不同盒2.4.6不同球分配到相同盒2.4.7相同球分配到相同盒？2.4.1生成函数的定义定义2.4.1设x是一个抽象符号，an(n＝0,1,2,…)为实数列，若函数F(x)可表示成F(x)＝a0＋a1＋a2＋…称F(x)为数列an(n＝0,1,2,…)的指数生成函数(exponentialgeneratingfunctions)2.4.2指数生成函数的运算指数生
2、成函数是生成函数(1)＋＝(2)()()＝＝2.4.3指数生成函数ex序列1,1,1,…,1,…的指数生成函数为ex＝＋＋＋＋…＋＋…序列a0＝1,a1,a2,…,an,…(a是实数)的指数生成函数是eax＝a0＋a1＋a2＋…＋an＋…2.4.3指数生成函数ex数列1,1,1,…的指数生成函数ex＝具有与指数相似的性质：exey＝ex+y，这是因为exey＝()()＝()()＝＝＝＝ex+y特别地，exe-x＝e0＝1，从而ex＝2.4.4指数生成函数展开式(1)ex＝＋＋＋＋…＋＋…(2)eax＝a0＋a
3、1＋a2＋…＋an＋…(3)＝＋＋＋…(4)＝＋＋＋…2.4.5不同球分配到不同盒例2.4.1把5个不同球放入a1,a2,a3这3个不同盒中，盒a1中最少放1个且最多放3个，盒a2中只能放偶数个，盒a3中只能放奇数个，讨论其不同方案数h5解三个不同盒a1,a2,a3依次对应3个圆括号,做F(x)＝(＋＋)(＋＋＋…)(＋＋＋…)2.4.5不同球分配到不同盒做重集｛2·a1,2·a2,1·a3｝全排列a3a1a2a1a212345盒a1a2a3球(2,4)(3,5)(1)全排列数2.4.5不同球分配到不同盒做重
4、集｛2·a1,3·a3｝全排列a1a3a3a1a312345盒a1a2a3球(1,4)()(2,3,5)全排列数2.4.5不同球分配到不同盒符合题意的方案数h5＝F(x)的展开式中项的系数2.4.5不同球分配到不同盒定理2.4.1设重集{M1·a1,M2·a2,…,Mk·ak},其中Mi(正整数或∞)(i＝1,2,…,k)为元素ai的重数。重集的r排列数记作br，则序列br(r＝0,1,2,…)(b0＝1)的指数生成函数为F(x)2.4.5不同球分配到不同盒定理2.4.2把r个不同球放入k个不同盒子a1,a2
5、,a3,…,ak中，限定盒子的容量集合为Mi(i＝1,2,…,k)，则其分配方案数序列br(r＝0,1,2,…)(b0＝1)的指数生成函数为F(x)2.4.5不同球分配到不同盒例2.4.2求由1,3,5,7,9这五个数字组成的25位数的个数，要求1和3都出现偶数次，5,7,9出现的次数均不限。解问题即把25个不同球放到标号为1,3,5,7,9五个不同盒中，且盒1和3中均放偶数个，盒5,7,9的容量均不限。设满足此例条件的n位数的个数为an，则an(n＝0,1,2,…)的指数生成函数为2.4.5不同球分配到不同
6、盒F(x)2.4.5不同球分配到不同盒所以a252.4.5不同球分配到不同盒例2.4.3解例1.7.1令g(m,n)为由m个元素集合A到n个元素集合B的满射的个数(m≥n)，则g(m,n)＝2.4.5不同球分配到不同盒证明设A＝{a1,a2,…,am}，B＝{1,2,…,n}，即把m个不同球a1,a2,…,am放入标号为1,2,…,n这n个不同盒中，且每盒中至少要放一个，故g(m,n)(m＝0,1,2,…)的指数生成函数为2.4.5不同球分配到不同盒故2.4.6不同球分配到相同盒问题：把r个不同球放入k个相同
7、盒里，盒的容量可限定，求其分配方案数ar2.4.6不同球分配到相同盒把r个不同球放入k个不同盒里，盒的容量可限定，已能很容易地求出其分配方案数另一方面，把r个不同球放入k个不同盒里，盒的容量可限定，又可分为两步完成：先把r个不同球放入k个相同盒里，盒的容量可以限定，其分配方案数为ar；再把这k个盒编号，即对这k个盒做全排列，有k!种方案。由乘法原则，有＝ar×k!2.4.6不同球分配到相同盒例2.4.4解例1.1.3把2n个人分成n组，每组2人，有多少种不同的分组方法？解问题等价于：把2n个不同球放入n个相同
8、盒里，每盒2个，求其分配方案数a2n2.4.6不同球分配到相同盒把2n个不同球放入n个不同盒里，每盒2个，其分配方案数(n＝0,1,2,…)的生成函数即又2.4.7相同球分配到相同盒？问题：把r个相同球放入k个相同盒里，盒的容量可限定，求其分配方案数ar2.4.7相同球分配到相同盒？把r个相同球放入k个不同盒里，盒的容量可限定，已能很容易地求出其分配方案数另一方面，把r个相同球放入k个不同盒里，盒的
