【数学分析课件@北师大】15Green公式.pdf

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1、曲线和曲面上的积分Green公式和Stokes公式1内容提要•Green公式：说明平面上简单闭曲线C的(第二型)曲线积分和C所围区域的积分之间的关系及其对有界区域的推广•Stokes公式：R3中双侧曲面S上的(第二型)曲面积分与其边沿的(第二型)曲线积分的关系•Gauss公式：Rn中n-1维双侧闭曲面S的(第二型)曲面积分和S所围区域上的积分之间的关系及其对有界区域的推广2Green定理•设C是平面R2中的一条分段光滑简单闭曲线,Ω是C所围成的闭区域(C=∂Ω),F=(P,Q)是定义在Ω上的光滑向量场.规定C的方向为逆时针方向,则下列Green公式成立∂Q∂P∫F⋅dr=∫

2、Pdx+Qdy=∫∫−dxdyCCΩ∂x∂y•其中r=(x,y),∫表示在闭曲线C上沿逆时针的方向积分.C3Green定理示意图4Green定理的证明•Green定理的一般证明是复杂,但思想很简单:就是将Ω分成满足下列形式的小区域Ωk:Ω={(x,y):ϕ(x)≤y≤ϕ(x),α≤x≤β}k12={(x,y):ψ(y)≤x≤ψ(y),γ≤y≤δ}12的并,先在每一个上证明定理,然后加起来.•这里仅对上面特殊区域证明定理.设Ω={(x,y):ϕ(x)≤y≤ϕ(x),α≤x≤β}12={(x,y):ψ(y)≤x≤ψ(y),γ≤y≤δ}125Green定理证明(续1)•由

3、公式右端出发∂Qdψ2(y)∂Q∫∫dxdy=∫dy∫dx∂xcψ1(y)∂xΩd=[Q(ψ(y),y)−Q(ψ(y),y)]dy∫21c=∫Q(x,y)dyC6Green定理证明(续2)•同样的∂Pbϕ2(x)∂P∫∫−dxdy=∫dx∫−dy∂yaϕ1(x)∂yΩd=[P(x,ϕ(x))−P(x,ϕ(x))]dx∫12a=∫P(x,y)dxC7Green定理证明(续3)•两式相加就得到∂Q∂P∫∫−dxdy=∫Pdx+QdyΩ∂x∂yC8Green公式例题1•计算曲线积分222∫(x+y)dx−(x+y)dyL其中L是由A(1,1)经B(3,2)到C(2,5

4、),再回到A的三角形闭路•解:记Ω=∆ABC所围成的区域,此时L的方向是正向.9Green公式例题1(续)•利用Green公式222∫(x+y)dx−(x+y)dy=∫∫(−4x−2y)dxdyLΩ24x−3311−3x=−2∫1dx∫x+1(x+2y)dy−2∫2dx∫x+1(x+2y)dy222=−46310一般形式的Green定理•设Ω是平面R2中的有界闭区域,其边界∂Ω由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成,F=(P,Q)是定义在Ω上的光滑向量场.规定∂Ω的方向(正向)为:沿该方向前行,区域Ω保持在左侧,则下列Green公式成立∂Q∂P∫F⋅dr=∫Pdx+Qdy=∫∫

5、−dxdy∂Ω∂ΩΩ∂x∂y11Green定理的推论•梯度场(积分与路径无关)定理:单连通开集中的光滑向量场是梯度场的充要条件•区域面积计算公式12梯度场定理•单连通开集:设Ω是一个平面开集.如果任何Ω中的简单闭曲线C所围的区域都包含在Ω中,就说Ω是单连通的.•设Ω是平面上的单连通开集,F=(P,Q)是Ω中的一个光滑向量场,则存在Ω中的数值函数ƒ使得F=ƒ′的充分必要条件是∂Q∂P(*)∀(x,y)∈Ω,=∂x∂y13梯度场定理证明•条件的充分性：假设条件(*)成立.则连结在Ω中任意两点的曲线积分仅与初始点和终点有关,因此F是梯度场.•条件的必要性：假设F=ƒ′,则

6、22∂Q∂f∂f∂P∀(x,y)∈Ω,===∂x∂y∂x∂x∂y∂y14Green公式例题2•计算−ydx+xdy∫22x+yC其中C是绕原点(0,0)按逆时针方向的一条闭曲线.•解22∂x∂−yy−x==222222∂xx+y∂yx+yx+y15Green公式例题2(续)•注意这个向量场在原点不连续,因此我们不能得到所求的曲线积分为零.•记Cr为以原点为心,r为半径的圆周,当r充分小时,Cr包含在C所围成的区域内.•由一般形式的Green公式.−ydx+xdy−ydx+xdy==2π∫22∫22x+yx+yCCr16区域面积计算公式•设Ω是平面

7、上的有界闭区域,其边界∂Ω由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成,则Ω的面积为1Ω=∫xdy−ydx=∫xdy=−∫ydx2∂Ω∂Ω∂Ω17Stokes定理•设Ω是平面上的一个有界单连通闭区域,其边3界∂Ω为一条分段光滑的简单闭曲线.ƒ:Ω→R为曲面S的正则表示,∂S=ƒ(∂Ω)称作曲面S的边界.规定S的方向与∂S的方向成右手螺旋.•设F=(P,Q,R)为S上的一个光滑向量场,则∫F⋅dr=∫Pdx+Qdy+Rdz=∫∫(rotF)⋅Ndσ∂S∂SS18Stokes公式(续1)这个公式称作Sto