数学必修五讲义.doc

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1、第一章解三角形正弦定理过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程Ⅰ课题导入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？CBⅡ讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角

2、与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则从而在直角三角形ABC中，思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得，ba从而AcB思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。过点A作，由向量的加法可得则AB∴∴，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当A

3、BC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R定理的变形（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使得__________________________（2）等价于，，糖水原理(3)比例关系（4）三个内角和为，即（5），，，（6），；（4）（5）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即：（6）在锐角三角形中，从而知正弦定理的基本作用为

4、：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。典型例题例1在中，已知，，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或⑴当时，，应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。已知三角形的任意两角及其一边1在△ABC中，已知，则∠

5、B等于（）A．B．C．D．2中，若，，，则____3中，若，，，则____4中，，，，则（）A．B．C．D．或5在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为．已知三角形的任意两边与其中一边的对角1一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（　　）．Ａ．　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．2在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)A．4B．4C．4D.3在中，若，，，则____4在中，，，，则___________补充如图△ABC中，点D在边BC上，且BD=

6、2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及三个内角和为，即1在△ABC中，已知，，则的值为（）ABC或D2已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.3在△ABC中，若∠C=60º，则cosAcosB的取值范围是()A.B.　　C.D.以上都不对4若△ABC的三内角ÐA，ÐB，ÐC满足sinA=2sinCcosB，则△ABC为　　三角形.5△ABC中，下述表达式：①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③，其中表

7、示常数的是()A.①和②B.①和③C.②和③D.①②③6△ABC中，若sin(A+B)sin(A-B)=sin2C，则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sinBsinC＝cos2，求A、B及b、c.8若△ABC的三内角A，B，C成等差数列，则cos2A+cos2C的最小值为补充在中，分别为角的对边，且（1）求的度数（2）若，，求和的值边化角角化边的应用1在△ABC中，若，则△ABC是（）A.直角

8、三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2在△ABC中，若a=2bsinA，则∠B为()A.　　　　　B.　　　　　C.或　　　　　D.或3在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状补充在中，已知和时，解的情况如下：1若△ABC满足下列条件：①a=4，b=10，ÐA=30°；②a=6，b=10，ÐA=30°；③a=6，b=10，ÐA=150°；④a=12，b=10，ÐA=150°；⑤