方阵的特征值和特征向量.ppt

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1、方阵的特征值和特征向量.基本概念定义1.设A是一个n阶方阵，0是一个数字，是一个非零的n维向量，若A=0，则称0是方阵A的一个特征值，是A的与特征值0对应的一个特征向量。显然：0是方阵A的一个特征值线性方程组(A-0E)X=0有非零解行列式

2、A-0E

3、=0定义2.称关于变量的n次多项式为方阵A的特征多项式.称关于未知数的n次代数方程

4、A-E

5、=0为方阵A的特征方程。显然，0是方阵A的一个特征值0是特征方程

6、A-E

7、=0的一个根。是A的与特征值0对应的一个特征向量是线性方程组(A-0E)

8、X=0的一个解向量二.特征值和特征向量的计算方法第一步计算行列式

9、A-E

10、第二步解方程

11、A-E

12、=0，得方阵A的所有特征值1,2,…,n第三步解诸线性方程组(A-jE)X=0,j=1,2,…,n，得到方阵A的所有特征向量例1.计算的特征值和特征向量解：显然，方阵A的特征值为：2，i,-i解方程组得这便是与特征值2对应的特征向量.(c0)再解方程组即x1=0,x2=(1+i)x3.令x3=c,得到:这样便求得与特征值i对应的特征向量.(c0)由得：从而又得到与特征值-i对应的特征向量例2.计算的特征值和特征向量解：该方阵

13、的特征值为1，2，2解方程组:得方阵与特征值1所对应的特征向量:解方程组:得方阵与特征值2所对应的特征向量：例3.计算的特征值和特征向量解：该方阵与上一方阵具有相同的特征值2，2，1解方程得方阵A与特征值2对应的特征向量:解方程得方阵A与特征值1对应的特征向量:例4.求的特征值和特征向量解：解方程组得A的与特征值5对应的特征向量:解方程组得到A的与特征值1对应的特征向量:三.特征值和特征向量的性质定理1设A是一个n阶方阵，则A与AT具有相同的特征值.定理2设A是一个n阶可逆方阵，则是A的一个特征值-1是A-1的一个特征值。定理3

14、设A是一个n阶方阵，1,2,…,m是它的m个互不相同的特征值，1,2,…,m是A的分别与1,2,…,m对应的特征向量，则1,2,…,m线性无关。证明:设有一组数1,2,…,m,满足:11+22+…+mm=0由Aj=jj,j=1,2,…,m,在上式两端依次左乘以A,A2,…,Am-1得到:从而1,2,…,m皆为零。即1,2,…,m线性无关.证毕定理4设A是一个实对称方阵，则A的所有特征值皆是实数，并且A的对应于不同特征值的特征向量是正交的。证明：设是A的一个特征值，是与之对

15、应的特征向量，即A=则由：再由：即,是一个实数若也是A的一个特征值，是与之对应的特征向量，且,则由:得到:即,与正交证毕