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1、（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容第一章习题课函数的定义反函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数(一)函数1、函数的定义定义因变量自变量定义域函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1)单值性与多值性:2、函数的性质(2)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo(3)函数的单调性:设函数f(x)的定义域
2、为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(4)函数的有界性:设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5)函数的周期性:oyx5、反函数与直接函数之间的关系3、反函数6、基本初等函数2）幂函数3）指数函数4）对数函数
3、5）三角函数6）反三角函数1）常数函数7、复合函数8、初等函数定义初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.9、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的运算数列极限函数极限等价无穷小及其性质极限的性质无穷小两者的关系无穷大(二)极限1、极限的定义如果数列没有极限,就说数列是发散的.左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大
4、的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理推论1推论23、极限的运算法则4、求极限的常用方法a.消去零因子法求极限;b.无穷小因子分出法求极限;c.利用无穷小运算性质求极限;d.利
5、用两个重要极限求极限;e.利用左右极限求分段函数极限;f.利用等价无穷小代换求极限;g.利用连续函数的性质求极限5、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)6、两个重要极限7、无穷小的比较定义:定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9.极限的性质(局部)有界性唯一性定理3推论(局部)保号性(函数极限与数列极限的关系)子列收敛性定理4左右连续在区间[a,b]上连续闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一
6、类第二类(三)连续1、连续的定义定义1则称函数y=f(x)在点x0连续.定义2则称函数y=f(x)在点x0连续.定义3则称函数y=f(x)在点x0连续.注意！3、连续的充要条件2、单侧连续定理4、间断点的定义5、间断点的分类第一类间断点第二类间断点:间断点(见下图)可去间断点跳跃间断点无穷间断点,振荡间断点.可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx6、闭区间上连续7、连续性的运算性质定理定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理2定理3定理4基本初等函数在定
7、义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.8、初等函数的连续性定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1解二、典型例题例2解利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入上式得解联立方程组例3解将分子、分母同乘以因子(1-x),则例4解例5解例6解例7解：例7.选择以下给出的
8、四个结论中一个正确的结论设f(x)=2x+3x−2,当x→0时，有(A)f(x)与x是等价无穷小(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小(D)f(x)是比x低阶的无穷小例8证明讨论:由零点定理知,综上,测验题测验题答案作业P74:4、11、12、13
