2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式练习.docx

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1、二一般形式的柯西不等式,　　　　　　　　[学生用书P45])[A　基础达标]1．设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则＋＋的最大值为(　　)A．　　　B．C．2D．3解析：选A.由柯西不等式，得(＋＋)2≤[()2＋()2＋()2]＝×1＝，所以＋＋≤＝，当且仅当＝＝2时，等号成立．故选A.2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为(　　)A．1B．2C．－1D．不确定解析：选A.因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×

2、1＝1，当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时，等号成立，所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.故选A.3．已知x2＋3y2＋4z2＝2，则

3、x＋3y＋4z

4、的最大值为(　　)A．2B．4C．6D．8解析：选B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y＋4z)2，又x2＋3y2＋4z2＝2所以2×8≥(x＋3y＋4z)2.所以

5、x＋3y＋4z

6、≤4.当且仅当x＝＝，即x＝y＝z＝时取等号．4．设a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则＋＋的最小值为(　　)A．1B．4C．6D．9解

7、析：选C.由柯西不等式得(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥＝36.即6≥36.所以＋＋≥6.故选C.5．已知实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，x2＋y2＋z2≤4，则2x＋y＋z＝(　　)A．B．C．D．2解析：选B.因为实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，所以2x－y－2z＝6.由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x－y－2z)2＝36，所以x2＋y2＋z2≥4.再根据x2＋y2＋z2≤4，可得x2＋y2＋z2＝4.故有＝＝，所以x＝－2y，z＝2y.再

8、把x＝－2y，z＝2y代入2x－y－2z－6＝0，求得y＝－，则2x＋y＋z＝－4y＋y＋2y＝－y＝.6．已知a，b，c∈R＋，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．解析：因为a＋2b＋3c＝6，所以1×a＋1×2b＋1×3c＝6.所以(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2＝36，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．答案：127．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝

9、________．解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥＝.当且仅当＝＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，解得：x＝，y＝，z＝，所求点为.答案：8．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x＋y＋z)≥＝36，所以＋＋≥36，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．综上可知，＋＋的最小值为36.答案：369．设x＋y＋z＝1，求H＝2x2＋3y2＋z2的最小值．解：因为x＋y＋z＝·x

10、＋·y＋1·z，所以由柯西不等式得：(x＋y＋z)2＝≤·(2x2＋3y2＋z2)，即·H≥1，解得H≥，等号成立的条件为解得x＝，y＝，z＝.此时，H＝.综上所述，H的最小值为.10．已知

11、x＋2y＋3z

12、≥4(x，y，z∈R)．(1)求x2＋y2＋z2的最小值；(2)若

13、a＋2

14、≤(x2＋y2＋z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为(x＋2y＋3z)2≤(12＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)，且

15、x＋2y＋3z

16、≥4(x，y，z∈R)，所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝

17、时取等号．即x2＋y2＋z2的最小值为.(2)因为x2＋y2＋z2的最小值为，所以

18、a＋2

19、≤×＝4，所以－4≤a＋2≤4，解得－6≤a≤2，即a的取值范围为[－6，2]．[B　能力提升]1．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)A．　　B．C．D．解析：选C.由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)·≥，当且仅当＝＝时等号成立．因为a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，所以等号成立．所以＝＝.所以＝.故选C.

20、2．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径R为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________．解析：由已知得absinC＝，＝2R＝2.所以abc＝1，所以＋＋＝ab＋bc＋ca，由柯西不等式得(ab＋bc＋ca)≥(＋＋)2，所以≥(＋＋)2.即＋＋≥＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．当a＝b