2017中考数学（四川版）（检测）专题十一　四边形的综合应用.doc

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1、专题十一　四边形的综合应用(针对四川中考特殊四边形的综合应用)1．(导学号　14952502)(2017·广元预测)在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.(1)如图①，求证：BP＋BQ＝BC；(2)请直接写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，若DQ＝1，DP＝3，则BC＝__2或4__．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ，∵AD＝BD，AD＝BC，∴B

2、D＝BC，∵BD＝BP＋DP，∴BC＝BP＋BQ　(2)图②，BQ－BP＝BC，理由：∵AP∥CQ，∴∠APB＝∠CQD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠ABP＝∠CDQ，∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③，BP－BQ＝BC，理由：同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ　(3)图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4，图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或42．(导学号　14952503)(2016·南平)已知在矩形ABCD中，∠

3、ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点(其中EP＜PD)．(1)如图1，若点F在CD边上(不与D重合)，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD，PF分别交射线DA于点H，G.①求证：PG＝PF；②探究：DF，DG，DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)拓展：如图2，若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为(1)中DF，DG，DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．解：(1)①∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°

4、，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF＝∠ADP＝45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠PDF＝45°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF(ASA)，∴PG＝PF；②结论：DG＋DF＝DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD＝DP，HG＝DF，∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，∴DG＋DF＝DP　(2)不成立，数量关系式应为：DG－DF＝DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF＝∠HPD＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∴

5、∠HDP＝∠EDC＝45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠EDC＝45°，且PH＝PD，HD＝DP，∴∠GHP＝∠FDP＝180°－45°＝135°，在△HPG和△DPF中，∴△HPG≌△DPF，∴HG＝DF，∴DH＝DG－HG＝DG－DF，∴DG－DF＝DP3．(导学号　14952504)(2017·自贡预测)如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE.(1)求证：BG＝AE；(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时(如图②所示)．①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG∶AE＝

6、3∶4，求的值．解：(1)∵AD为等腰直角△ABC的高，∴AD＝BD，∵四边形DEFG为正方形，∴∠GDE＝90°，DG＝DE，在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE(SAS)，∴BG＝AE　(2)①如图，连接AD，∵四边形DEFG为正方形，∴△DEG为等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°，由(1)得△BDG≌△ADE，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE＝90°，∴BG⊥GE；②设AG＝3x，则AE＝4x，即GE＝7x，∴DG＝GE＝x，∵△BDG≌△ADE，∴BG＝AE＝4x，在Rt△BGA中，AB＝＝＝5x，∵△ABD为等腰直

7、角三角形，∴∠4＝45°，BD＝AB＝x，∴∠3＝∠4，而∠BDM＝∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD∶DG＝DM∶BD，即x∶x＝DM∶x，解得DM＝x，∴GM＝DG－DM＝x－x＝x，∴＝＝4．(导学号　14952505)(2016·扬州)已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连接EF.设CE＝a，CF＝b.(1)如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值；(2)当△AEF是直角三角形时，求a，b的值；(3)如图3，探索∠EAF绕点A