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时间:2020-03-15
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1、初二数学经典难题参考答案与试题解析1.(10分)已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15°.求证:△PBC是正三角形.(初二)考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定。1097743专题:证明题。分析:在正方形内做△DGC与△ADP全等,根据全等三角形的性质求出△PDG为等边,三角形,根据SAS证出△DGC≌△PGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根据等边三角形的判定求出即可.解答:证明:∵正方形ABCD,∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,∵∠PAD=∠PDA=15°,∴PA=PD,∠PAB=∠PDC=75
2、°,在正方形内做△DGC与△ADP全等,∴DP=DG,∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°,∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°,∴△PDG为等边三角形(有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形),∴DP=DG=PG,∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°,∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC,在△DGC和△PGC中,∴△DGC≌△PGC,∴PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15°,同理PB=AB=DC=PC,∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°,∴△PBC是正三角形.点评:本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质和判定,
3、全等三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是正确作出辅助线,又是难点,题型较好,但有一定的难度,对学生提出了较高的要求. 2.(10分)已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:∠DEN=∠F.考点:三角形中位线定理。1097743专题:证明题。分析:连接AC,作GN∥AD交AC于G,连接MG,根据中位线定理证明MG∥BC,且GM=BC,根据AD=BC证明GM=GN,可得∠GNM=∠GMN,根据平行线性质可得:∠GMF=∠F,∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F.解答:证明:连接AC,作GN∥AD交AC于
4、G,连接MG.∵N是CD的中点,且NG∥AD,∴NG=AD,G是AC的中点,又∴M是AB的中点,∴MG∥BC,且MG=BC.∵AD=BC,∴NG=GM,△GNM为等腰三角形,∴∠GNM=∠GMN,∵GM∥BF,∴∠GMF=∠F,∵GN∥AD,∴∠GNM=∠DEN,∴∠DEN=∠F.点评:此题主要考查平行线性质,以及三角形中位线定理,关键是证明△GNM为等腰三角形.
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