2016_2017学年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件.pptx

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1、§2排序不等式1．了解排序不等式的数学思想和背景；2．了解排序不等式的结构与基本原理；3．理解排序不等式的简单应用.[学习目标]1．排序不等式的应用．(重点)2．排序不等式与不等式有关知识的综合．(难点)[学法指要]预习学案1．设实数a，b，c，d满足下列三个条件：d>c；a＋b＝c＋d；a＋d

2、＝”号．2．排序不等式：设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn则(顺序和)___________________≥(乱序和)_____________________≥(反序和)______________________，其中j1，j2，…，jn是1,2,3，…，n的______________．上式当且仅当_______________(或_______________)时取“＝”号．ac＋bd≥ad＋bca1b1＋a2b2＋…＋anbna1bj1＋a2bj2＋…＋anbjna1bn＋a2bn－1＋…＋anb1任一排列方式a1＝a2＝…＝a

3、nb1＝b2＝…＝bn1．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别是()A．132,6B．304,212C．22,6D．21,36答案：B答案：B课堂讲义[思路点拨]由于题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．字母的大小顺序已确定的不等式的证明[思路点拨]利用排

4、序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个不等式．[思路点拨]题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．需对字母顺序作出假设的不等式的证明2．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．[思路点拨]当作出a≥b≥c的假设后，所用的二个数组就可以完全确定了．但要注意a，b，c三者的“地位”必须对等，否则不成立．设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.[思路点拨]题中只给出了x

5、>0，但对于x≥1，x<1没有明确，因而需要进行分类讨论．[解题过程](1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：顺序和≥反序和，得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①对所证不等式中的字母大小顺序需要加以讨论又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋

6、1)xn，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③(2)当0x>x2>…>xn，但①②仍然成立，于是③也成立．综合(1)(2)，证毕．[方法技巧]分类讨论的目的在于明确二个序列的大小顺序关系．[思路点拨]在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体环境分类讨论．用排序原理证明柯西不等式定理(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋

7、…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序不等式的另一证明证明：(1)设Ck＝c1＋c2＋…＋ck，Bk＝b1＋b2＋…＋bk，因为b1≤b2≤…≤bk，且{c1，c2，…，ck}是由{b1，b2，…，bn}中的k个元素构成的子集，则Ck≥Bk，k＝1,2，…，n，Cn＝Bn.因为ak－1－ak≤0，∀k＝2,3，…，n，所以a1c1＋a2c2＋…＋ancn＝a1C1＋a2(C2－C1)＋…＋an(Cn－Cn－1)＝C1(a1－a2)＋C2(a2－a3)＋…＋