必修5不等式题型总结.doc

必修5不等式题型总结.doc

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1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一.不等式的性质:1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,则(若,则),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若,则(若,则);3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若,则或;4.若,,则;若,,则。如练习一、:(1)对于实数中,给出下列命题:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧,则。其中正确的命题是______(2)已知,,则的取值范围是______

2、(3)已知,且则的取值范围是______二.不等式大小比较的常用方法:1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化;6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法;8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。练习二;(1)设,比较的大小(2)设,,,试比较的大小(3)比较1+与的大小三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。如(

3、1)下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是(2)若,则的最小值是______;(3)正数满足,则的最小值为______五.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。).常用的放缩技巧六.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方

4、依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。如练习三:(1)解不等式。(2)不等式的解集是____(3)设函数、的定义域都是R,且的解集为,的解集为,则不等式的解集为______七.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。如练习四:(1)解不等式(2)关于的不等式的解集为,则关于的

5、不等式的解集为____________八.绝对值不等式的解法:1.分段讨论法(最后结果应取各段的并集):如解不等式(2)利用绝对值的定义;(3)数形结合;如解不等式(4)两边平方:如若不等式对恒成立,则实数的取值范围为______。九.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.如(1)若,则的取值范围是__________(2

6、)解不等式十一.含绝对值不等式的性质:同号或有;异号或有.如设,实数满足,求证:十二.(难点)不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法)1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如(1)设实数满足,当时,的取值范围是______(答:);(2)不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围_____(答:);(3)若不等式对

7、满足的所有都成立,则的取值范围_____(答:(,));(4)若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是_____(答:);(5)若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围.(答:)2).能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围____(答:)3).恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为;若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.含参数的一元二

8、次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按项的系数的符号分类,即;例1解不等式:分析:本题二次项系数含有参数,,故只需对二次项系数进行分类讨论。解:∵解得方程两根∴当时,解集为当时,不等式为,解集为当时,解集为例2解不等式分析因为,,所以我们只要讨论二次项系数的正负。解当时,解集为;当时,解集为二、按判别式的符号分类,即;例3解不等式分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解:∵∴当即时,解集为;当

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