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1、高等数学复习提纲一、考试题型1．填空题6题2．计算题8题二、知识点1．平面及其方程。例题：一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为,所求平面的方程为(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0,即x+y-3z-4=0.2．空间直线及其方程。例题：求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程.解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量,即.所平面的方程为-16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0,即16x-14y-11z-65=0.例题：求
2、过点(3,1,-2)且通过直线的平面方程.解所求平面的法线向量与直线的方向向量s1=(5,2,1)垂直.因为点(3,1,-2)和(4,-3,0)都在所求的平面上,所以所求平面的法线向量与向量s2=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2)也是垂直的.因此所求平面的法线向量可取为.所求平面的方程为8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0,即8x-9y-22z-59=0.2．旋转曲面。例题：将zOx坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解将方程中的z换成得旋转曲面的方程y2+z2=5x.
3、例题：将zOx坐标面上的圆x2+z2=9绕z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解将方程中的x换成得旋转曲面的方程x2+y2+z2=9.4.多元复合函数求导，隐函数求导。例题：求函数的全微分解.例题：设z=u2lnv,而,v=3x-2y,求,.解,.例题：设z=ex-2y,而x=sint,y=t3,求.解0.例题：设siny+ex-xy2=0,求.解令F(x,y)=siny+ex-xy2,则Fx=ex-y2,Fy=cosy-2xy,.例题：设,求.解令,则,,.5.重积分（直角坐标，极坐标）。例题：,其中D={(x,y)
4、
5、x
6、
7、£1,
8、y
9、£1};解积分区域可表示为D:-1£x£1,-1£y£1.于是.例题：,其中D是顶点分别为(0,0),(p,0),和(p,p)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D:0£x£p,0£y£x.于是,.例题：利用极坐标计算下列各题:(1)，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(r,q)
10、0£q£2p,0£r£2},所以.(3),其中D是由圆周x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的第一象限内的闭区域.解在极坐标下,所以.5．求曲顶柱体体积。例题：求由曲面z=x2+2y2及z=6
11、-2x2-y2所围成的立体的体积.解由消去z,得x2+2y2=6-2x2-y2,即x2+y2=2,故立体在xOy面上的投影区域为x2+y2£2,因为积分区域关于x及y轴均对称,并且被积函数关于x,y都是偶函数,所以.例题：计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底,而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积.解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D={(x,y)
12、x2+y2£ax}.在极坐标下,所以.6常数项级数的审敛法。例题：判定下列级数的收敛性:(1);解因为,而级数收敛,故所给级数收敛.(2);解因为,而级数收敛,
13、故所给级数收敛.(1);解级数的一般项为.因为,所以级数发散.(2);解因为,所以级数收敛.(3);解因为,所以级数收敛.(3).解因为,所以级数收敛.例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？(1);解这是一个交错级数,其中.因为显然un³un+1,并且,所以此级数是收敛的.又因为是p<1的p级数,是发散的,所以原级数是条件收敛的.(2);解.因为,所以级数是收敛的,从而原级数收敛,并且绝对收敛.7．幂级数。例题：求下列幂级数的收敛域:;解,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数成为,是收敛的;当x
14、=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-1,1].解这里级数的一般项为.因为,由比值审敛法,当x2<1,即
15、x
16、<1时,幂级数绝对收敛;当x2>1,即
17、x
18、>1时,幂级数发散,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数成为,是收敛的;当x=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-1,1].7．函数展开成幂级数。例题：将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间:(1)sin2x;解因为,,xÎ(-¥,+¥),所以xÎ(-¥,+¥).例题：将函数f(x)=cosx展开成的幂级数.解5.例题：将函数展开成(x-
19、3)的幂级数.解,即.例题：将函数展开成(x+4)的幂级数.解,而,即;,即.因此.注意复习书上习题
