高中数学中的等不式.doc

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1、高中数学中的不等式（一）目录前言（一）不等式的概念（二）不等式的基本性质（三）不等式的分类（四）常用不等式介绍（五）重要不等式介绍（六）两个重要的工具（七）不等式的证明例题介绍（八）不等式的解法例题介绍（九）不等式的应用例题介绍（十）综述软件（数学公式编辑器，几何画板，lingo,matalab等）正文：一不等式的概念不等式在我们的日常生活中很常见，它是与等式相对的一个概念。为了给不等式一个确切的概念，下面我介绍一下集合论的简单知识。“集合论创始人Cantor称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西，人们能

2、够意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。”[1]列出集合的元素的方式，一般采用枚举法、描述法和归纳法。其实我们可以将不等式归为一类集合，如下：一般地，在数学上，不等式表明两个对象的大小或者顺序的二元关系。不等关系主要有四种：将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。我们现在就引入集合的几种运算，从集合理论中来对它进行更深刻的认识。根据上面的定义，我们

3、就可以推出下面的运算性质：定理1：设E为全集，则对任意子集A,B,C而言，我们有如下的结论：它们的证明可以参看朱梧槚、肖奚安教授所著《集合论导引》25页的证明。要理解不等式，其实质上是“不等”，我们就利用上面的知识来阐释“不等”。当然我们还要一个概念——卡氏积，下面就来介绍卡氏积。首先，我们给出“序偶”的概念。1921年，K.Kuratowsk给出的定义，也是我们现在普遍采用的一种。然而卡氏积这个概念与不等式的关系不大，如果我们将不等式中的“不等”单独地提出来看，其实不等式中核心的部分是不等这个关系，因此我们需要

4、“关系”这个数学概念。因此我们就用上面的所建立的卡氏积概念来定义，如下：现在我们来对关系的运算进行说明，首先定义六个基本的二元关系的特性，依次为自反性，反自反性，对称性，反对称性，拟反对成性和可传性，然后而我们利用这些特性来对关系分类。关系的这些特性是从实际生活中抽象出来写成数学语言，现在就列在下面：上面所列举的特性对于“不等式”中的不等关系是成立的，由于等式与不等式相对应，先给出一个简单的关系——等价关系。我们现在能够理解“=”是等价关系，因为“=”满足自反性，对称性，传递性。那么，“不等”的性质在下面作出详细

5、的介绍：根据上面集合理论，我们经常使用的“不等”关系显然的是属于全序关系，现在我们给出一个称为严格全序关系的定义：现在我们可以将不等式大致地分为两类，一类是用“<”或“>”表示的不等式，它显然的是属于严格全序关系；另一类是用“”或“”表示的不等式，它属于全序关系。因此我们就可以定义不等式了，即两个代数式满足全序关系。根据上面的介绍，可以得出不等式的基本性质。二不等式的基本性质上面两个性质是直接可以利用全序关系之直接得出，而我们特别的注意到全序关系的特殊性，因此我们有：下面对于运算有另一些性质：我们可利用这四条性质

6、导出更多的式子，例如下面一些：我们列举两个例子来进行证明：三不等式的分类在世界上，不等关系远远多于相等关系，而我们知道关系是可以进行分类的，下面我们介绍几重分类方式，以帮助学生进行更好的记忆及应用。我们知道，对关系进行分类，我们需要对集进行全面的了解，而不等式是如此之多，但我们很容易的得出一种分类方式，及利用全序与非全序得到两种不等式，根据它们自身的性质，其中区别是全序具有。然而这样的分类并没有怎样在学生学习有任何大的帮助，于是我们探求更好的分类的方式。在高中阶段，学习的都是初等不等式，一般书上都是分成几类经典的

7、不等式，如均值不等式、几何不等式、柯西不等式、琴生不等式等，这样的分类能够让学生更加容易掌握并应用。但是它并没有将初等的不等式进行完整的概括。为了更全面的认识，首先引进函数的概念，因为不等式的两端可以看作一个函数，例如现在我将对初等函数进行分类，如下：多项式函数：＿＿＿＿＿＿＿＿（常数函数看作是零多项式函数）指数函数：——————————对数函数：——————————三角函数：——————————反三角函数：——————————因此我将根据初等函数来对不等式进行分类，高中不等式的种类大概可以分成这样，我们就可以很

8、容易的将所有初等多项式做完整的分类。这里再提出一类重要不等式，绝对值不等式，它可以由我们的多项式函数表示出来，如还有我们所熟知的数列不等式，以及组合不等式，我们可以看作他们的定义域是在N上的函数，例如现在我们来证明我们的分类是成立的。完成了对不等式的分类，下面我们就要根据这些分类来对不等时进行认知。四常用不等式介绍