曲线与方程的概念.ppt

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1、2.1.1曲线与方程的概念平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．用坐标系研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线得出关系：x-y=0xy0（1）上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上曲线条件方程

2、曲线和方程之间有什么对应关系呢？让我们回顾一下圆及其方程的意义。如图，以点O为圆心，半径为r(r>0)的圆，记作⊙(O,r)，以O为原点建立直角坐标系xOy，我们可以得到圆的方程x2+y2=r2.上述圆的方程表示的意义是：（1）设M(x0,y0)是⊙(O,r)上任意一点，则它到圆心O的距离等于r，因而满足方程，即x2+y2=r2.这就是说(x0,y0)是此方程的一个解；如果点(x0,y0)不在⊙(O,r)上，则必有，即有x2+y2≠r2.(x0,y0)就不会是方程x2+y2=r2的解。（2）如果(x0,y0)是方程x2+y2=r2

3、的一个解，则可以推得，即点M(x0,y0)到圆心的距离等于r，点M在⊙(O,r)上；如果(x0,y0)不是方程x2+y2=r2.的解，则可以推出即点M(x0,y0)不在⊙(O,r)上。一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程。一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)=0的形式。其中F(x，y)是关于x,y的解析式，例如y=x2可以写成x2－y=0的形式。在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标

4、的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.思考与推论：下面两个命题正确吗？（1）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x；（2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1，0)，B(1，0)的连线，使∠AMB为直角的动点轨迹方程是：x2+y2=1.不正确不正确例1.已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，则下列命题中正确的是（）(A)满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上(B)方程f(x，y)=0是曲线的方程(C)曲线C是满足方程f(x，y)=0的曲线(D)方程f(x，y

5、)=0的曲线包含曲线C上的任意一点D例2.设圆M的方程为(x－3)2+(y－2)2=2,直线l的方程是x+y－3=0，点P的坐标是(2，1)，那么（）(A)点P在直线l上，但不在圆M上(B)点P不在直线l上，但在圆M上(C)点P在直线l上，也在圆M上(D)点P不在直线l上，也不在圆M上C例3.已知两圆C1：x2+y2+6x－16=0，C2：x2+y2－4x－5=0，求证：对任一不等于－1的实数λ，方程x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4x－5)=0是通过两圆交点的圆的方程。证明：方程x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4

6、x－5)=0可以变形为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6－4λ)x－16－5λ=0,因为λ≠－1，得因为方程中等号右端大于0，所以它是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。课堂练习1.下列各组方程中表示相同曲线的是（）(A)(B)(C)(D)D2.曲线y=x2与x2+y2=5的交点是（）(2，1)(B)(±2，1)(C)(2，1)或(2，5)(D)(±2，1)或(±2，5)B3.命题“曲线S上的点的坐标满足方程F(x，y)=0”是正确的，则下列命题正确的一个是（）(A)

7、方程F(x，y)=0的曲线是S(B)满足方程F(x，y)=0的点都在曲线S上(C)曲线S是方程F(x，y)=0的轨迹(D)方程F(x，y)=0的曲线不一定是SD4.经过两圆2x2+2y2－3x+4y=0与x2+y2+2x+6y－6=0的交点的直线方程为。5.P(m+1，m+4)在曲线y=x2+5x+3上，则m的值为。7x+8y－12=0－1或－56.“点M在曲线y=

8、x

9、上”是“点M到两坐标轴距离相等”的条件。7.已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2+y2=3上，则α的值为.充分不必要