贝叶斯讲义 先验分布与后验分布.ppt

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1、12一、统计推断中可用的三种信息二、贝叶斯公式三、共轭先验分布四、超参数及其确定五、多参数模型六、充分统计量第一章先验分布与后验分布31.总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的信息2.样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息3.先验信息：在抽样之前有关统计推断的一些信息。§1.1统计推断中可用的三种信息4§1.2贝叶斯公式贝叶斯统计学的基础是著名的贝叶斯公式，它是英国学者贝叶斯（T.R.Bayes1702~1761）在他死后二年发表的一篇论文《论有关机遇问题的求解》中提出的。经过二百年的研究与应用，贝叶斯的统计思想得到很大的发展，目前

2、已形成一个统计学派—贝叶斯学派。为了纪念他，英国历史最悠久的统计杂志《Biometrika》在1958年又全文刊登贝叶斯的这篇论文。5一、贝叶斯公式的三种形式初等概率论中的贝叶斯公式是用事件的概率形式给出的。可在贝叶斯统计学中应用更多的是贝叶斯公式的密度函数形式。1.贝叶斯公式的事件形式：假定是互不相容的事件，它们之和包含事件B，即，则有：6假设Ⅰ随机变量X有一个密度函数p(x;θ)，其中θ是一个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯观点看，p(x;θ)是在给定θ后的一个条件密度函数，因此记为p(x│θ)更恰当一些。这个条件密度能提供

3、我们的有关的θ信息就是总体信息。假设Ⅱ当给定θ后，从总体p(x│θ)中随机抽取一个样本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信息就是样本信息。2.贝叶斯公式的密度函数形式：在给出贝叶斯公式的密度函数形式之前，先介绍以下贝叶斯学派的一些具体思想或者叫着基本假设：7假设Ⅲ从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量。而描述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称为先验分布，其密度函数用π(θ)表示。（1）先验分布定义1将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ的随机变量，它有一概率分布，记为π(θ)，称为参数θ的先验分布。（2）后

4、验分布在贝叶斯统计学中，把以上的三种信息归纳起来的最好形式是在总体分布基础上获得的样本X1，…，Xn，和参数的联合密度函数：8在这个联合密度函数中。当样本给定之后，未知的仅是参数θ了，我们关心的是样本给定后，θ的条件密度函数，依据密度的计算公式，容易获得这个条件密度函数：这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中称为θ的后验密度函数，或后验分布。而：是样本的边际分布，或称样本的无条件分布，它的积分区域就是参数θ的取值范围，随具体情况而定。93.贝叶斯公式的离散形式：当是离散随机变量时，先验分布可用先验分布列π(θi)，这时后验分布也是离散形式：假

5、如总体X也是离散的，则只须将p(x

6、θ)换成P(X=x

7、θ)即可。10前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ已有一个认识，这个认识就是先验分布π(θ)。通过试验，获得样本。从而对θ的先验分布进行调整，调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结果就是后验分布。后验分布是三种信息的综合。获得后验分布使人们对θ的认识又前进一步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识由π(θ)调整到。所以对θ的统计推断就应建立在后验分布的基础上。二、后验分布是三种信息的综合11例1.4设事件A的概率为，即。为了估计而作n次独立观察，其中事件A出现次数为

8、X，则有X服从二项分布即解题步骤：1.作贝叶斯假设。如果此时我们对事件A的发生没有任何了解，对的大小也没有任何信息。在这种情况下，贝叶斯建议用区间（0，1）上的均匀分布作为θ的先验分布。因为它在（0，1）上每一点都是机会均等的。因此：2.计算样本X与参数的联合分布：此式在定义域上与二项分布有区别。如何求出后验分布？12即：5.具体算例。拉普拉斯计算过这个概率,研究男婴的诞生比例是否大于0.5?如抽了251527个男婴,女婴241945个。他选用U(0，1)作为θ的先验分布，于是可得θ的后验分布Be(x+1,n-x+1),其中n=251527

9、+241945=493472，x=251527。由此拉普拉斯计算了“θ≤0.5”的后验概率：故他断言男婴诞生的概率大于0.5。4.利用贝叶斯公式可得的后验分布：3.计算X的边际密度为:13注：1.伽玛分布与贝塔分布简介：定义：定义在[0，1]上，且用密度函数：表示的概率分布称为βⅠ型分布，记为βⅠ(p,q)或者βe(p,q)。142.特例：当p=q=1时，βⅠ(1,1)型分布即为区间[0，1]上的均匀分布；当p=q=1/2，βⅠ(1/2,1/2)型分布称为反正弦分布，密度函数为：设，则的密度函数为：即：3.数字特征:153.为什么将贝

10、塔分布作为θ的先验分布族是恰当的？(1)参数θ是废品率，它仅在（0，1）上取值。因此，必需用区间（0，1）上的一个分布去拟合先验信息。β分布正是这样一个分布。(2)β分布含有两个