贝叶斯统计先验分布的确定.docx

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1、第三章先验分布的确定3.1主观概率3.1.1概率的公理化定义定义：设Ω为一个样本空间，F为Ω的某些子集组成的一个事件域，如果对任一事件A∈F，定义在F上一个实值函数P(A)满足下列条件：(1)非负性公理：对于每一事件A，有P(A)≥0；(2)正则性(规范性)公理：P(Ω)=1；(3)可列可加性(完全可加性)公理：设A1，A2，…是互不相容的事件，即对于i≠j，AiAj=Æ，i，j=1，2，…，则有则称P（A）为事件A的概率(Probability)，称三元素(Ω，F，P)为概率空间(Probabil

2、ityspace)。概率是定义在σ-域F上的一个非负的、正则的、可列可加的集函数。3.1.2主观概率在经典统计中，概率是用三条公理定义的：1）非负性；2）正则性；3）可加性。概率确定方法有两种：1）古典方法；2）频率方法。实际中大量使用的是频率方法，所以经典统计的研究对象是能大量重复的随机现象，不是这类随机现象就不能用频率的方法去确定其有关事件的概率。这无疑把统计学的应用和研究领域缩小了[1]。在经典统计中有一种习惯，对所得到的概率都要给出频率解释，这在有些场所是难于做出的。譬如，天气预报：“明天下

3、雨的概率是0.8”。贝叶斯统计中要使用先验信息，而先验信息主要是指经验和历史资料。因此如何用人们的经验和过去的历史资料确定概率和先验分布是贝叶斯学派要研究的问题。贝叶斯学派是完全同意概率的公理化定义，但认为概率也是可以用经验确定。这是与人们的实践活动一致。这就可以使不能重复或不能大量重复的随机现象也可谈及概率。同时也使人们积累的丰富经验得以概括和应用。贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性所给出个人信念。这样给出的概率称为主观概率。下面举几个例子：一个企业家认为“一项新产品在

4、未来市场上畅销”的概率是0.8，这里的0.8是根据他自己多年的经验和当时一些市场信息综合而成的个人信念。一位医生要对一位病人动手术，他认为成功的概率是0.9，这是他根据手术的难易程度和自己的手术经验而对“手术成功”所给出的把握程度。这样的例子在我们生活，生产和经济活动中也是常遇见的，他们观察的主观概率绝不是随意的，而是要求当事人对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这一行的专家。并能对周围信息和历史信息进行仔细分析，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。所以应把主观概率与主观臆造，瞎说一

5、通区别开来。主观概率要受到实践检验，要符合概率的三条公理，通过实践检验和公理验证，人们会接受其精华，去其糟粕。主观概率是频率方法和经典方法的一种补充，有了主观概率至少使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，使用概率和统计方法。主观概率并不反对用频率方法确定概率，但也要看到它的局限性。3.1.3确定主观概率的方法（1）用对立事件的比较来确定主观概率（最简单的方法）例3.1一位出版商要知道一本新书畅销（事件A）的概率是多少，以决定是否与作者签订出版合同。他在了解这本新书的内容后，根据他自己多年出书的经验认

6、为该书畅销的可能性较大，畅销（A）比畅销（）的可能性要高出一倍，即，由此根据概率的性质，可以推得，即该书畅销的主观概率是2/3。（2）用专家意见来确定主观概率（最常用）例3.2有一项带有风险的生意，预估计成功（记为）的概率。为此，决策者去拜访这方面的专家（如董事长，银行家等），向专家提这样的问题：“如果这种生意做100次，你认为会成功几次？”专家回答：“成功次数不会太多，大约60次。”这时是专家的主观概率，可此专家还不是决策者，过分谨慎的。决策者决定修改专家的估计，把0.6提高到0.7。这样就是决策

7、者自己的主观概率。（3）通过向多位专家咨询后，经修正和综合获得主观概率例3.3某公司再决定是否成产某种新产品时，想估计该产品在未来市场上的畅销（记为）的概率是多少，为此公司经理召集设计，财会，推销和质量管理等方面人员的座谈会，仔细分析影响新产品销路的各种因素，大家认为此新产品质量好，只要定价合理，畅销可能性很大，而影响销路的主要因素是市场竞争。据了解，还有一家工厂（简称外厂）亦有生产此新产品的想法，该厂技术和设备都比本厂强。经理在听取大家的分析后，向在座各位提出二个问题：（i）假如外厂不生产此新产品

8、本公司的新产品畅销的可能性（即概率）有多大？（ii）假如外厂要生产此新产品本公司的新产品畅销的可能性（即概率）有多大？在座人员根据自己的经验各写了二个数，经理在计算了二个平均值后，略加修改，提出自己的看法：在上述二种情况下，本公司新产品畅销概率各为0.9和0.4，这是经理在征求多位专家意见后所获得的主观概率。另根据本公司情报部门报告，外厂正忙于另一项产品开发，很可能无暇顾及生产此新产品。经理据此认为外厂将生产此新产品的概率为0.3，不产此新产品的概率为0.7。利用上面