劳思判据和郝尔薇茨稳定判据.ppt

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1、6.2劳思判据与郝尔薇茨判据劳思判据郝尔薇茨判据6.2.1劳思判据劳思判据充要条件：系统特征方程的各项系数均大于零，即ai>0；劳思计算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。劳思计算表的求法列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成阵列首两行，即6.2.1劳思判据计算劳思表系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零时为止。用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c、d、e等各行的系数。6.2.1劳思判据6.2.1劳思判据低阶系统的劳思判据对于二阶和三阶等低阶系统

2、，可以简化劳思稳定判据，以便直接进行稳定性判断。二阶系统劳思判据充要条件特征方程各项系数均为正，则系统稳定。三阶系统劳思判据充要条件特征方程各项系数均为正，且中间两项系数之积大于首尾两项系数之积，则系统稳定。6.2.1劳思判据劳思判稳准则特殊情况劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数ε代替0进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方

3、程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例6.1设某控制系统如图所示，试确定K为何值时系统稳定。解：系统的闭环传递函数为则系统的特征方程为此系统为三阶系统，根据三阶系统稳定的充要条件可得：即当时，系统稳定。例6.2设闭环控制系统的传递函数为判定该系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根数。解：系统的特征方程为上式各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得劳思表第一列符号不全相同，有两次符号变化，故闭环系统有两个正实部的根，系统不稳定。例6.3已知系统特征方程为，判别系统是否稳定，若不稳定，求

4、不稳定根的数目。解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得当ε→0时，，故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。例6.4已知控制系统的特征方程为，试判定系统的稳定性。解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下：将A(s)对s求导，得例6.4再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。共轭虚根可通过辅助方程求得其共轭虚根为

5、，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。6.2.2赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据充要条件系统特征方程的各项系数全部为正；将系统特征方程各项系数排列成如下行列式：当主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，即6.2.2赫尔维茨稳定判据则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。6.2.2赫尔维茨稳定判据—举例例5-4若已知系统的特征方程为，试判断系统是否稳定。解：系统特征方程的各项系数均为正数。根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列

6、式由△得各阶子行列式各阶子行列式都大于零，故系统稳定。6.2.2赫尔维茨稳定判据—举例例5-5某反馈控制系统的特征方程为，试确定使该系统稳定的K值。解：列写系统的罗斯计算表并计算得根据罗斯判据的充要条件，要使系统稳定，则必须满足以下条件，即解之得，K>0.5即为所求。