系统稳定性的劳斯判据与赫尔维茨判据的等价性论证

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1、天津城市建设学院学报第15卷第3期2009年9月JournalofTianjinInstituteofUrbanConstructionVol.15No.3Sep.2009能源与机械$系统稳定性的劳斯判据与赫尔维茨判据的等价性论证李从清(天津城市建设学院能源与机械工程系，天津300384)摘要：采用李雅普诺夫第二法和线性定常系统大范围渐近稳定判别定理，对赫尔维茨稳定判据进行了数学证明；从劳斯稳定性判据和赫尔维茨稳定性判据的充分必要条件出发，对它们的等价性进行了论证．关键词：劳斯判据；赫尔维茨判据；李雅普诺夫稳定性中图分类号：T

2、P13；O231文献标识码：A文章编号：1006-6853(2009)03-0207-04线性定常系统稳定的充分必要条件是其全部特步骤如下.征根均具有负实部．判别线性系统的稳定性，需解出(1)将给定的描述系统运动的高阶齐次微分方程系统的全部特征根，看这些根是否均具有负实部．但变换为齐次状态方程.对于高阶系统，求根的工作量很大，因此希望使用一(2)给定对称正定(或非负定)矩阵Q，根据式(1)种间接判断系统特征根是否全部严格位于s左半平求出相应的矩阵P.面的代替方法．劳斯和赫尔维茨分别于1877年和(3)由要求矩阵P为正定的条件证

3、明赫尔维茨稳1895年独立提出了判别系统稳定性的代数判据，称定判据．为劳斯-赫尔维茨稳定判据．劳斯-赫尔维茨稳定判设在输入信号为零的情况下，系统的齐次微分方[1-4]据在一些文献中只给出了结论性的稳定判据条程为件，而对于稳定判据条件没有给予证明．笔者首先用nn−1ddxxdx++aa++ax=0(3)[5]nn11−1nn−李雅普诺夫第二法对赫尔维茨稳定判据进行数学ddttdt证明，然后对劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据的等式(3)的系数行列式为a100000价性进行了论证．1aaa1000321aaaaa0054321

4、1赫尔维茨稳定性判据证明Δn=00000a0n−1用李雅普诺夫第二法证明赫尔维茨稳定性判000000an据．设线性定常连续系统的状态方程为根据赫尔维茨判据，上述系统稳定的充分和必要x=Ax(1)条件是，其各阶子行列式满足下列条件x=0为其平衡状态．eΔ=a＞011根据李雅普诺夫第二法，此平衡状态大范围渐a11Δ=>0近稳定的充分和必要条件是对于任意给定的对称正2aa32定矩阵Q，都存在一个对称正定矩阵P，使得a101TAP+PA=Q-(2)Δ=>aaa03321T而Vx()=xPx为所选定的李雅普诺夫函数

5、．aaa543若给定的Q为非负定的，则要求V(x)在沿任一零输入响应的轨迹上不恒等于零．Δ>0n用李雅普诺夫第二法证明赫尔维茨稳定判据的为了证明赫尔维茨判据，首先将系统的高阶微分收稿日期：2009-03-04；修订日期：2009-06-03作者简介：李从清（1962—），男，天津人，天津城市建设学院副教授.208天津城市建设学院学报2009年第15卷第3期方程写成状态方程的形式．Δ33ab==3选择系统的状态变量为ΔΔ12a1x=[]xxxT将b1，b2和b3代入式(6)，即可得到原来系统的12n微分方程．令x1=x，

6、则式(2)等价于下列状态方程x=Ax其次，应给定矩阵Q，并根据式(2)去求矩阵P．式中⎡000⎤⎢⎥⎡⎤0100000=⎢⎥设Q(7)⎢⎥−b010000⎢000⎥⎢⎥n⎢⎥2⎢⎥01−bn−1000⎣00−2b1⎦A=⎢⎥(4)⎢⎥这是一个对称非负定矩阵，由此可知李雅普诺夫函数⎢⎥0000001的导数为⎢⎥⎢⎥⎣⎦00000−−bbVb=xQx-T=−222x211n此矩阵的特点是，在主对角线上除了最后的一个只要x1，x2，…，xn不全都为零，则xn≠0，于是元素为－b1外，其余

7、各元素均为零．主对角线以上各Vx()不可能恒为零．所以按式(4)选定的矩阵Q是合元素均为1．主对角线以下各元素从第二行开始依次理的．－bn，－bn-1，…，－b2．矩阵中bi与系统原来的高阶微再假设矩阵P是对角线矩阵分方程的各阶系数子行列式的关系为⎡pn000⎤Δa⎢00p0⎥ba==Δ；ba==−23；⎢n−1⎥11122Δ11aP=⎢⎥(8)⎢⎥b==Δ33a；b=ΔΔ14；⎢00p20⎥34ΔΔ21a1ΔΔ32⎢⎣000p1⎥⎦将式(4)、式(7)、式(8)代入式(2)，即可得ΔΔb=ii−3⎡bb

8、n21b000⎤iΔΔ⎢⎥ii−−1200bbb0⎢n−121⎥为了简化问题，现以三阶系统为例证实以上关P=⎢⎥⎢⎥系．三阶系统的齐次微分方程为00bb0⎢21⎥ddd32xxx⎢000b⎥+++aaax=0(5)⎣1⎦32123ddttdt最后检验矩阵