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1、中国科学(A辑)第29卷第3期SCIENCEINCHINA(SeriesA)1999年3月＊半参数回归模型小波估计的强逼近钱伟民柴根象(同济大学应用数学系,上海200092)Td摘要考虑半参数回归模型yi=xiβ+g(ti)+ei,i=1,2,…,n,其中β∈R为未Td知回归参数,g(·)为[0,1]上的未知Borel函数,{xi}为R上的随机设计,{ti}为常数序列,{ei}为i.i.d.随机误差,Eei=0.在适当的条件下,证明了β和g(·)的小波估计β和g(·)的强相合性,并且得到了β和g(·)的强
2、相合速度.关键词半参数回归模型小波估计强相合收敛速度设有半参数回归模型Tyi=xiβ+g(ti)+ei,i=1,2,…,n,(0.1)dTd其中β∈R为未知回归参数,g(·)为[0,1]上的未知Borel函数,{xi,ti}为R×[0,1]上的随机设计或常数序列,{ei}为i.i.d.随机误差,满足22Eei=0,Eei=σ<∞.(0.2)n对于模型(0.1),其基本问题是基于{yi,xi,ti}i=1估计β及g(·),至今文献中已积累了多[1][2][3]种成功的估计方法,如样条估计,核估计,三角级数估
3、计.一个值得关注的新方法,即小[4,5]波光滑已经成功地应用于密度估计和非参数回归估计.同其他方法相比,小波方法有许多优点,相对于正交级数估计,它对待估函数的要求较低,而得到的大样本性质较为理想.文献[6]建立了模型(0.1)的小波估计的某些重要大样本性质.本文研究小波估计的强收敛性质.对(0.1)式的核估计或最近邻估计,已由文献[7,8]得到强相合性及收敛速度.本文在假-1/33定误差满足(0.2)式的情形,建立了β的小波估计有强收敛速度O(nlogn),在Ee1<∞-1/31/2的情形,建立了g(·)
4、的小波估计有一致强收敛速度O(n(logn)Mn),这里Mn以任意慢速度趋于∞.比较文献[7,8],这从一个侧面说明:对于半参数回归模型使用小波估计是成功的,是一种可与其他常用估计方法比较的统计估计方法.1主要结果考虑{ti}为[0,1]中常数序列,采用文献[2]中的假定:Xir=fr(ti)+ηir,1≤i≤n,1≤r≤d,(1.1)T其中fr(·)为定义在[0,1]上的未知函数,ηi=(ηi1,…,ηid)(1≤i≤n)i.i.d.且{ηir}与{ei}相1998-02-10收稿,1998-10-10
5、收修改稿＊国家自然科学基金资助项目(批准号:19571061)234中国科学(A辑)第29卷互独立,Eηi=0,cov(ηi,ηj)=V,(1.2)这里V=(Vij)为d阶正定矩阵.下面使用文献[9]的记号和定义.设有某个给定刻度函数(·)∈Sl(阶为l的Schwarz空2间),相伴L(R)的多尺度分析为{Vm},Vm的再生核为mmmmmmEm(t,s)=2E0(2t,2s)=2∑(2t-k)(2s-k).k∈Z记Ai=[si-1,si]是[0,1]的分割且ti∈Ai,1≤i≤n.当β已知时,定义g(·)
6、的估计为nTg0(t,β)=∑(yi-xiβ)∫Em(t,s)ds,i=1Ai然后求解极小问题nT2min∑(yi-xiβ-g0(ti,β)),i=1记其解为β,最后定义g(t)的线性小波估计为nTg(t)=g0(t,β)=∑(yi-xiβ)∫Em(t,s)ds.i=1AiTTT记X=(Xir)n×d,y=(y1,…,yn),e=(e1,…,en),g=(g(t1),…,g(tn)),Sij=∫AEm(ti,js)ds,S=(Sij)n×n,X=(I-S)X,y=(I-S)y,则易知T-1Tβ=(XX)X
7、y,(1.3)g=S(y-Xβ),(1.4)T其中g=(g(t1),…,g(tn))为g的估计.以下是本文的基本假定和主要结果:α(A1)g(·),fr(·)∈H(阶为α的Sobolev空间),α>1/2,1≤r≤d;(A2)g(·),fr(·)满足γ阶Lipschitz条件,γ>0,1≤r≤d;(A3)∈Sl,l≥α;满足1阶Lipschitz条件且具有紧支撑,当ξ※0时,(ξ)-1=O(ξ),其中为的Fourier变换;-1m1/3(A4)max(si-si-1)=O(n),且2=O(n).1≤i≤n
8、3+δ2定理1设对某个δ>0,Eei2<∞,且条件(A1)～(A4)成立,Eη1j<∞,j=1,2,…,d,那么β-β=o(1),a.s.,(1.5)sup
9、g(t)-g(t)
10、=o(1),a.s.(1.6)t22定理2设Ee1<∞,条件(A1)、(A3)和(A4)成立,α>3/2,Eη1j<∞,j=1,2,…,d,那么-1/3β-β=O(nlogn),a.s.(1.7)33定理3设Ee1<∞,条件(A1)、(A3)和(A4)
