半参数回归模型的小波估计

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1、Vol.28(2008)数学杂志No.4J.ofMath.(PRC)误差为MA(
)序列的半参数回归模型的*小波估计的渐近性质朱崇军(湖北师范学院数学系,湖北黄石435002)}

摘要:本文研究误差为MA(
)时间序列的半参数回归模型.利用小波方法,研究了参数分量
非参数分量g(t)的小波估计^
n、g^n(
)的渐近性质.在适当的条件下,得到了^
n的渐近正态性、强收敛速度、矩收敛速度及g^n(
)的强相合性和矩相合性.

关键词:半参数回归模型;小波估计;时间序列;收敛速度

MR(2000)主题分类号:92B20;34K20;34C25



中图分类号:O175.13

文献标识

2、码:A



文章编号:0255
7797(2008)04
0453
101
引言考虑半参数回归模型yi=x
i
+g(ti)+
i,
i=1,2,
,n(1.1)p其中(xi,ti)(ti
[0,1])是固定的非随机设计点列,

R是未知待估参数,g(
)是定义在[0,1]上的未知函数,{
i}是随机误差,E
i=0,i=1,2,
.将小波方法用于回归模型,可以在对待估函数要求较低的情况下,得到比较优良的性质,因此近年来受到许多作者的关注.由于时间序列在实际应用中的广泛性,本文将考虑随机误差为平稳MA(
)序列的情形,它包含了AR(p),MA(q),ARMA(p,q)等各种时间序列模型.

3、对于模型(1.1),如[1]所述,
我们的主要兴趣在于估计未知参数
,而把非参数部分视为无穷维多余参数.
本文的主要目的是在适当的条件下,证明
的小波估计^
n的渐近正态111性,并给出强收敛速度O(n-2log2n)与均方收敛速度O(n-2),它接近于误差{
i}为iid变量时的最佳速度,这说明从大样本意义上看,小波方法是一种可供选择的统计估计方法,同时本文中也证明了g(
)的小波估计量g^n(
)的强相合性与矩相合性.2设
(
)
Sl(阶为l的Schwaryz空间)是某个给定的刻度函数,相伴L(R)的多尺度分析为{Vm},{Vm}的再生核为mmmmmmEm(t,s)=2E0(2t,2

4、s)=2

(2t-k)
(2s-k)k
Z记Ai=[si-1,si)是[0,1]的一个分割,且ti
Ai,1
i
n,这里{ti}是满足(1.1)的设计点列.*收稿日期:2006
12
30


接收日期:2008
01
13基金项目:湖北省教育厅重点科研资助项目(D200522002).作者简介:朱崇军,(1964
),男,四川资阳市,副教授;研究方向:金融数学.454数

学

杂

志












Vol.28
T根据两步估计的思想,先假设
已知,基于{yi-xi
,ti}可作出g的非参数估计为nTg^0(t,
)=
(yi-xi
)
Em(t,s)dsi=1AinT2

5、然后定义
的估计为极小值问题min
[yi-xi
-g^0(ti,
)]的解,记为^
n,代入g^0(t,
)i=1中,我们定义g(
)的线性小波估计为nTg^n(t)=g^0(t,^
n)=
(yi-xi^
n)
Em(t,s)ds(1.2)i=1AiTTT记X=(xir)n
p,Y=(y1,
,yn),
=(
1,
,
n),g=(g(t1),
,g(tn)),Sij=
AEm(tj,s)ds,S=(Sij)n
n,X
=(I-S)X,Y=(I-S)Y由最小二乘法易知iT-1T^
n=(X
X
)X

Y(1.3)

本文中,c和ci表示一个正常数,在同一场合可以表示不同的数,为研究^

6、
n,g^n(
)的渐近性质,我们需要作一些基本假设.对固定设计(xi,ti)我们采用已被广泛使用的条件(如[2][3]).(A1)
存在[0,1]上的有界函数hj(
),1
j
p,满足xij=hj(ti)+uij
i=1,
,n,
j=1,
,p(1.4)T其中ui=(ui1,
,uip)是实向量,满足n-h1limui,kui+

7、h

8、,j=bhkj
h=0,
1,
2,
,k=1,
,p,j=1,
,p(1.5)n

ni
=1矩阵B=(b0kj)非奇异,且对(1,
,n)的任一排列(j1,
,jn)满足m1limsupmaxuji<
maxuk
c(1.6)n

1
m
n
1

9、k
nnlogni=1其中

是欧氏范数.注
若设计点(xi,ti)是iid随机变量,取hj(ti)=E[xij

10、ti],uij=xij-hj(ti),TB=E(uiui),由大数定律和重对数律,条件A1满足.
11(A2)函数g(
),hj(
)
H(
阶Sobolev空间,
>),且满足
阶(v>)24Lipschitz条件.1注
这里我们仅要求未知函数满足v阶Lipschitz(v>),而用核权函数或最近邻权4函