2020高考数学（理）专项复习《平面向量》含答案解析.doc

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1、平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：向量的夹角

2、：两个非零向量a，b，作，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：〈a，b〉零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a∥b向量垂直；〈a，b)＝90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直．2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则．(2)减法：三角形法则．(3)数乘：记作：la

3、．它的长度是：｜la｜＝｜l｜·｜a｜它的方向：①当l＞0时，la与a同向②当l＜0时，la与a反向③当l＝0时，la＝0(4)数量积：①定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功．②运算律：1．(交换律)a·b＝b·a2．(实数的结合律)l(a·b)＝(la)·b＝a·(lb)3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c③性质：设a，b是非零向量，则：a·b＝0a⊥ba与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜特殊地：a·a＝｜a｜2或夹角：

4、a·b

5、≤

6、a

7、

8、b

9、3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a

10、＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)(2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)(3)数乘：la＝(lx1，ly1)(4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2(5)若a＝(x，y)，则(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(8)a在b方向上的正射影的数量为4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a＝lb，则a∥b，反之：若a∥b，且b≠0，则存在唯一的实数l使得a＝lb(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的

11、一对实数a1，a2使a＝a1e1＋a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则：a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1向量a、b、c是非

12、零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有()个(1)(b·c)a－(c·a)b与c垂直，(2)若a·c＝b·c，则a＝b，(3)(a·b)c＝a(b·c)，(4)a·b≤｜a｜｜b｜A．0B．1C．2D．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以c(b·c)a－(c·a)b与c垂直；(2)假命题．a·c＝b·c≠a＝b；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a与向量b都是与向量c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a、b这两个向量不相等；(

13、3)假命题．(a·b)c≠a(b·c)，实际上(a·b)c是与向量c方向相同或相反的一个向量，a(b·c)是与a方向相同或相反的一个向量，向量a、c的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，且cos〈a，b〉≤1，所以a·b≤｜a｜｜b｜．解答：选C．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的