2020高考数学（理）专项复习《不等式选讲》含答案解析.doc

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1、不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法(1)

2、f(x)

3、＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；(2)

4、f(x)

5、＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；(3)

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≥c(c＞0)和

10、x－a

11、＋

12、x－b

13、≤c(c＞0)型不等

14、式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；2．绝对值三角不等式

15、a

16、－

17、b

18、≤

19、a±b

20、≤

21、a

22、＋

23、b

24、.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正

25、数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(a)(b)≥(aibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

26、a

27、·

28、β

29、≥

30、α·β

31、，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．【复习要求】（1）理解绝对值

32、的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①②（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值（4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法【例题分析】例1　(1)设函数f(x)＝

33、2x＋1

34、－

35、x－4

36、.①解不等式f(x)＞2；②求函数y＝f(x)的最小值．[解]　①解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.原不等式可化为：或或所以原不等式的解集为：.解法二：f(x

37、)＝

38、2x＋1

39、－

40、x－4

41、＝画出f(x)的图象y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，(，2)．由图象知f(x)＞2的解集为.②由①的解法二中的图象知：f(x)min＝－.解绝对值不等式的步骤和方法：(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点．②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．例2:设函数f(x

42、)＝

43、3x－1

44、＋ax＋3.①若a＝1，解不等式f(x)≤4；②若函数f(x)有最小值，求a的取值范围．[解]　①当a＝1时，f(x)＝

45、3x－1

46、＋x＋3.当x≥时，f(x)≤4可化为3x－1＋x＋3≤4，解得≤x≤；当x＜时，f(x)≤4可化为－3x＋1＋x＋3≤4，解得0≤x＜.综上可得，原不等式的解集为.②f(x)＝

47、3x－1

48、＋ax＋3＝，函数f(x)有最小值的充要条件为，即－3≤a≤3.例3　(1)若函数f(x)＝

49、x＋1

50、＋2

51、x－a

52、的最小值为5，则实数a＝________.[解析]　

53、当a＝－1时，f(x)＝3

54、x＋1

55、≥0，不满足题意；当a<－1时，f(x)＝，f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；当a>－1时，f(x)＝f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.[答案]　4或－6例4　已知函数f(x)＝

56、x＋1

57、－2

58、x－a

59、，a>0.①当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；②若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解]　①当a＝1时，f(x)>1化为

60、x＋1

61、－2

62、x－1

63、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－

64、4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.②由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．1．解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数