函数与导数中任意性和存在性问题探究.doc

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1、..函数与导数中任意性和存在性问题探究命题人：闫霄审题人：冯昀山一、相关结论：结论1：；结论2：；结论3：；结论4：；结论5：；【如图一】结论6：；【如图二】结论7：；【如图三】结论8：；【如图四】结论9：的值域和的值域交集不为空；结论10：的值域是的值域的子集【例题1】：已知两个函数;(1)若对,都有成立，求实数的取值范围；(2)若,使得成立，求实数的取值范围；(3)若对,都有成立，求实数的取值范围；解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。；当变化时，的变化情况列表如下：-3(-3,-1

2、)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+0－0+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).小结：①对于闭区间I，不等式f(x)k对x∈I时恒成立[f(x)]min>k,x∈I.②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条

3、件，即不等价.（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)=g(x)－f(x)≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0...由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[-7,+∞).(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].由二次函数的图像和性质可得,x∈[-3,3]时,[f(x)]max=120－k.仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时,[g(x)]min=－21.由120－k≥－21得k≥14

4、1,即k∈[141,+∞).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..【例题2】：(2010年山东理科22)已知函数;(1)当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若对，,使，求实数的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a≤0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，

5、+∞）上单调递增；当a=时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；当0

6、0,2）上的最小值f(1)=－”.（※）又g(x)=(x－b)2+4－b2,x∈[1,2],所以①当b<1时，因为[g(x)]min=g(1)=5－2b>0,此时与（※）矛盾；②当b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4－b2≥0，同样与（※）矛盾；③当b∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min=g(2)=8－4b.解不等式8－4b≤－，可得b≥.综上，b的取值范围是[,+∞).二、相关类型题：类型一：直接求最值（往往需带参讨论）例3：..类题：例4：类题：..类型二：分离常数法求最值例5：类题：.

7、.例6：类题：..类型三：先进行变形简化，再求最值例7：类题：类型四：分离常数法+罗比达法则洛必达法则简介：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及..；　　(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)

8、≠0；　　(3)，那么=。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。洛必达法则可处理，，，，，，型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。例8：(2010年全国