李广全制作全套配套课件高等数学工科类专业适用7.1.2幂级数.doc

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1、7.1.2幂级数教学目标：（1）记住幂级数的一般形式及相关概念；（2）学会求一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。教学重点：（1）幂级数的一般形式及相关概念；（2）一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间的求法。教学难点：幂级数概念的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注探究下面研究函数项级数．观察等比级数.级数的部分和为，所以因此，级数当时，收敛且其和为；当时发散.提问5′新知识形如的函数项级数叫做的幂级数（其中，是常数）.当时，上述的幂级数成为．可以看到，等比级数是幂级数.使函数项级数收敛的点叫做级数的收敛点.使函数项级数发散的点叫做级数的发散点.

2、所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的集合叫做级数的发散域.例如幂级数的收敛域为.函数项级数对于收敛域内的某一个点，都有一个确定的和数与之对应，这样在收敛域内，函数项级数的和是的函数，叫做函数项级数的和函数教师讲授，记作.即=.例如幂级数的和函数为，即=，.12′知识巩固例4求幂级数的收敛域与和函数.解该幂级数是公比为的等比级数，其部分和为.根据上面的讨论，当，即时，级数收敛．并且.故级数的收敛域为，和函数为.即，.教师讲授17′新知识幂级数的收敛性一般有以下三种情形：（1）仅在点x＝0处收敛，（2）在（−∞，＋∞）内处处收敛，（3）存在一个正数R，当

3、x

4、

5、收敛，当

6、x

7、>R时发散．称正数R为级数的收敛半径，区间叫做收敛区间．经常使用下面的方法进行判定：对于幂级数，设an≠0，如果＝ρ，那么（1）当0＜ρ＜＋∞时，收敛半径R＝；（2）当ρ＝0时，收敛半径R＝＋∞；（3）当ρ＝＋∞时，收敛半径R＝0．教师讲授25′知识巩固例5求幂级数的收敛半径及收敛区间．解由于an＝，an+1＝，因此＝＝＝1＝ρ．则收敛半径R＝＝1，收敛区间为（－1，1）．教师引领学生完成例6求幂级数的收敛区间.解令，于是原幂级数变为..所以.由，即得．故幂级数的收敛区间.说明求幂级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数在区间端点处是否收敛

8、．如本题中，级数在x＝－1处收敛，在x＝1处发散，因此级数的收敛域是[－1，1）．在本教材中，一般不做这方面的研究，如果需要可以利用软件来完成．33′链接软件利用matlab软件可以将一个函数展开为幂级数，方法详见实验7.例如：将函数展开为幂级数，写出展开至5次幂项的操作为：clearsymsxf=sin(x);taylor(f)显示：f=sin(x)ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5即．演示37′练习7.1.21.求下列幂级数的收敛区间与和函数．2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间（1）；（2）.学生课上完成43′小结新知识：幂级数的一般形式及相关概念，一些

9、简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的求法。作业1.记忆幂级数的一般形式，梳理求幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的方法。45′2.完成习题册作业7.1.2。