利用欧拉公式推导三角函数公式.pdf

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1、第１７卷第２期高等数学研究Ｖｏｌ．１７，Ｎｏ．２２０１４年３月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＭａｒ．，２０１４ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１４．０２．００４利用欧拉公式推导三角函数公式林清１，蔡萍２（１．泉州市第九中学数学教研组，福建泉州３６２０００；２．闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州３６３０００）摘要利用欧拉公式推导三角函数的１５个相关公式，旨在深化学生对此类公式的理解、记忆和运用．关键词欧拉公式；三角函数公式；复数域中图分类号Ｏ１３文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１４

2、）０２－００１０－０３ＤｅｒｉｖａｔｉｏｎｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａｓｕｓｉｎｇＥｕｌｅｒ’ｓｆｏｒｍｕｌａ１，ＣＡＩＰｉｎｇ２ＬＩＮＱｉｎｇ（１．ＴｅａｃｈｉｎｇａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈｇｒｏｕｐｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｕａｎｚｈｏｕｎｉｎｔｈｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，Ｑｕａｎｚｈｏｕ３６２０００，ＰＲＣ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＭｉｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｚｈｏｕ３６３０００，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｆｔｅｅｎｒｅｌａｔｅｄｔ

3、ｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｏｒｍｕｌａｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄｂｙｕｓｉｎｇＥｕｌｅｒ＇ｓｆｏｒｍｕｌａｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｗｅｈｏｐｅｔｈｅｓｅｗｉｌｌｈｅｌｐｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ，ｒｅｃａｌｌ，ａｎｄａｐｐｌｙｔｈｅｓｅｆｏｒｍｕｌａｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｅｕｌｅｒ’ｓｆｏｒｍｕｌａ，ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｏｒｍｕｌａ，ｃｏｍｐｌｅｘｄｏｍａｉｎ复变函数论里的欧拉公式１．１余弦大降幂ｉθｅ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ（１）由式（２）易得将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数ｉθ－ｉθ２ｋ（ｃｏｓθ）２ｋ＝（ｅ＋ｅ）

4、＝和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重２２ｋ［１－３］要的地位，并且有着广泛而重要的应用．１Ｃｊ（ｅｉθ）２ｋ－ｊ（ｅ－ｉθ）ｊ＝２ｋ∑２ｋ利用欧拉公式易得２ｊ＝０ｋ－１ｅｉθ＋ｅ－ｉθ１ｊ（ｅｉθ）２（ｋ－ｊ）ｃｏｓθ＝，（２）２２ｋ［∑Ｃ２ｋ＋２ｊ＝０２ｋｉθ－ｉθｅ－ｅ，（３）Ｃｊ（ｅｉθ）２（ｋ－ｊ）ｋｓｉｎθ＝∑２ｋ＋Ｃ２ｋ］＝２ｉｊ＝ｋ＋１ｋ－１因此，欧拉公式使指数函数和三角函数在复数域中１ｊ（ｅｉθ）２（ｋ－ｊ）２ｋ［∑Ｃ２ｋ＋实现了相互转化．近年来，欧拉公式已被广泛应用到２ｊ＝０ｋ－１［４－７］初等数学和高等数学中．Ｃ２ｋ

5、－ｊ（ｅ－ｉθ）２（ｋ－ｊ）＋Ｃｋ∑２ｋ２ｋ］＝ｊ＝０本文将利用欧拉公式导出部分三角函数公式．ｋ－１ｉ［２（ｋ－ｊ）θ］－ｉ［２（ｋ－ｊ）θ］Ｃｋ１ｊｅ＋ｅ２ｋ２ｋ－１［∑Ｃ２ｋ２＋２］＝１三角函数大降幂２ｊ＝０ｋ－１ｋ１Ｃｊ［２（ｋ－ｊ）θ］＋Ｃ２ｋ，（４）高次幂的正余弦函数在计算上给我们带来诸多２ｋ－１｛∑２ｋｃｏｓ｝２２ｊ＝０不便，利用欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示特别地，当ｋ＝１时，有为一次幂函数的代数和，从而简化计算．ｃｏｓ２θ＝１（１＋ｃｏｓ２θ）．（５）２收稿日期：２０１２－０３－０１；修改日期：２０１３－１２－１２同理可得作者

6、简介：林清（１９７６－），女，福建仙游人，中学一级教师，从事中学（ｃｏｓθ）２ｋ＋１数学教学研究．Ｅｍａｉｌ：１８１３４１６３０＠ｑｑ．ｃｏｍ＝ｋ蔡萍（１９７９－），女，福建仙游人，硕士，讲师，从事非线性动１ｊ［（２ｋ－２ｊ＋１）θ］，（６）２ｋ∑｛Ｃ２ｋ＋１ｃｏｓ｝力学研究．Ｅｍａｉｌ：ｃａｉｐｉｎｇ０５９６＠１６３．ｃｏｍ２ｊ＝０第１７卷第２期林清，蔡萍：利用欧拉公式推导三角函数公式１１特别地，当ｋ＝１时，有ｋ－１２ｊ＋１（ｃｏｓθ）２（ｋ－ｊ）－１（ｉｓｉｎθ）２ｊ＋１∑Ｃ２ｋ＝ｃｏｓ３θ＝１（ｃｏｓ３θ＋３ｃｏｓθ）．（７）ｊ＝０４ｋ（－

7、１）ｊ２ｊ（ｃｏｓθ）２（ｋ－ｊ）（ｓｉｎθ）２ｊ∑Ｃ２ｋ＋１．２正弦大降幂ｊ＝０ｋ－１由式（３）及式（２）易得（－１）ｊ２ｊ＋１（ｃｏｓθ）２（ｋ－ｊ）－１（ｓｉｎθ）２ｊ＋１，（１２）ｉ∑Ｃ２ｋｊ＝０ｉθ－ｉθ２ｋ（ｓｉｎθ）２ｋ＝（ｅ－ｅ）＝另一方面有２ｉ（ｅｉθ）２ｋｉ（２ｋθ）２ｋ＝ｅ＝１Ｃｊ（ｅｉθ）２ｋ－ｊ（－ｅ－ｉθ）ｊ＝（２ｉ）２ｋ∑２ｋｃｏｓ（２ｋθ）＋ｉｓｉｎ（２ｋθ），（１３）ｊ＝０ｋ－１比较式（１２）和式（１３）的实部和虚部可得（－１）ｋ１（－１）ｊｊ（ｅｉθ）２（ｋ－ｊ）２ｋ［∑Ｃ２ｋ＋ｃｏｓ（２ｋθ）＝２ｊ＝０２ｋｋ

8、（－１）ｋｋ（－１）ｊｊ（ｅｉθ）２（ｋ－ｊ）（－１）ｊＣ２ｊ（ｃｏｓθ）２（ｋ－ｊ）（ｓｉｎθ）２ｊ，（１４）Ｃ２ｋ＋∑Ｃ２ｋ］＝∑２