由三角形内接正方形面积问题引发的思考.pdf

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1、由三角形内接正方形面积问题引发的思考林甸县第四中学史兵秋在初中数学相似图形的学习中，经常会出现求角二、锐角三角形内接正方形边长问题形内接正方形边长问题，通常的方法是利用相似三角形由于此种情形内接方式有种，为了便于说}1J】，不妨相似比等于对应高的比来解决，但由于三角形的不同，所设i边关系为：a>b>c．以采用内接方式也不同，得到的边长也不尽相同，所对应(如图3)设此内接正方形的边长DE=x，BC边上的的正方形面积也不一样，比如：如何才能使内接正方形面高AH=ht由相似得：积最大?一般的方法是分情况逐一计算、比较，但这里有·一

2、．‘．。=√．(、a+h1)x=ahl，’0无规律可循，结合我多年的教学积累，本文就此作一个粗1浅的探讨．‘一．．一、特殊三角形直角三角形内接正方形边长问题设·=．一2asGttF情形l：(如图1)当正方形一边落在直角边上，设正．n方形边长DE为，则借助三角形相似图3同理：(如图4)．．，有：：．AD：b'．．CD：b—b．ⅡoⅡnb=，。(如图5)．·-z=⋯·一～’．=_，或睾Ⅱa+oor上_BF=，．·．CF=a一了a·x~--x，c一—．．，．．nFr正oD故2os一=图1·．．=一—．，，h(赤一：‘_一口南此得出

3、结论1：直角三角形内接正方形无论正方图4“形一边落在哪条直角边上，边长均相等．情形2：(如图2)当正方形一边落在斜边上，设正方形_6+)．再‘．叶争。_(6+争。)_边长MN为y，斜边A曰边上的高cD为h，则上=．C凡(。-6)+(CI一士D)2s：(n_6)+彻．···hy-eh，又^’-．，故A2s：(n-b)(1一—)=(n-b)nhHhrabeabc．Y一丽一。’()．，，M图5c‘__一)，而c(。+6)一(+由正弦面积公式得：S=1“6si，C．ⅣnC2)=ac+bc_Ic：(c)(c一6)．图2由直角三角形斜边

4、C最长，(c)·．．．n+一(6+—)：(n_6)()：(J(1一ic)．aOⅡD(c—b)<0．x>y第一种内接正方形面积大于第二种内接正方形面积．由a>b,sinc0√．<0√．<由此得小结论2：直角三角形内接正方形中，当正方同理：y

5、仿照锐角三角形内接正方形边长的方法，这里不再累述．综上所述，涉及三角形内接正方形面积何时最大问题，需分类考虑的是直角三角形和锐角三角形，其共同规律是当正方形一边落在这两种角形最短边时，此时内接正方形面积最大．至此三角形内接正方形面积最大问题得到完全解决．四、应用举例1．如下冈，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S。、S：，那么S．、S的大小关系是()．ABA．Sl>S2B．Sl=52C．Sl

6、确答案C．源2．现有一块锐角三角形余料，经测量三边长分别为县茂12(~m，15em，17cm，现将它裁剪成一个最大的正方形材料备用，则这个兴正方形材料的边长是——cm．镇分析：这道题通常得分三种情况讨论，但根据上面的结论3，只需中学求f}I正方形一边放在较短边的那种情况即可，过程请读者自行完成．展3．如下图，等腰直角△ABC腰长为n，现分别按图1，图2方式在春AABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为晖s，正方形AD埘的面积为s．，正方形PMNQ的面积为．s．试比较s+s：与S的大小C曰MNC平面几

7、何是初中数学的一门重要课程，F它的基础知识不仅在生产实践和科学研究图1图2中有着广泛的应用，也是学生后继学习数学分析：此题是湖南西州的一道中考题，不难看出它脱胎出于直角和其他学科的基础．但是对于不少初中生来三角形内接正方形的两种情况，借助结论l：+求出图1的边长，说，平面几何也是一门难度较大的学科，要几何命题的直接证a+o法解析系统地掌握平面几何命题的证明方法并非y+罢求出图2的边长，从而求出S．、S的大小，从而轻松得出029十C—易事．sI+s2与s的大小关系：sI+s2

8、正方形面积最大问题的解决，引发我深深的思从原命题的条件出发，根据教材中给定的定考：解题只是学好数学的必要条件．但如何解好题，更重要的是通过义、公理、定理、法则，通过一系列的推理，一探究、挖掘问题本身所蕴含内在规律，它能使学生从浩然无际的题海中解放出来，能透过现象看到本质，学会了解题方法和技