数阶幻方的编排方法.doc

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1、奇数阶幻方的编排方法简便易学的编排方法。一、九子排列法宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中,总结“洛书”幻方的编排方法时说:三阶幻方的编排方法是“九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出”。这四个句子是什么意思呢?我们通过下面的一组图来加以理解。先画出一个3×3的“九宫格”,并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子,把1~9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上,然后上、下对调,左右交换,(因为我们是在格子上进行排列,就不必再进行“四维挺出”了),最后将虚线格子擦掉就可以了。利用这种方法我

2、们就很容易得到幻方(一)中例1的图A。但是这种方法有一定的局限性,只能编排三阶幻方,如果要编排5×5,7×7,9×9,……等奇数阶幻方又该怎么办呢?我们继续看第二种方法。二、罗伯法请大家注意观察幻方(一)中例1的图H,可以总结出下面的编排方法:1、在第一行正中央的方格子中填上1;2、按斜上方向在1的右上角填入2,但出上框了,这时要把2改填在2所在这一列的最下边;3、按斜上方向在2的右上角填入3,又出右框了,把3改填在3所在这一行的最左边;(上图1)4、按斜上方向在3的右上角填入4,但与先填入的1重合了

3、,这时就把4改填在3的下面,然后把5、6依次按斜上方向填入方格内;5、按斜上方向在6的右上角填入7,但出框的右上角,这时就把7改填在6的下面,(与重合相同)。重复上面的做法,把8、9依次填入方格中,这样就得到了图2,与左边的图H完全相同。这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况:“第一行正中央排什么数?”、“排出上框怎么办?”、“排出右框怎么办?”、“排重复了怎么办?”、“排出右上角怎么办?”为了便于记忆,我们把罗伯法概括成下面的的几

4、句话:1居上行正中央,依次斜排莫忘记;上出框时往下写,右出框时左边放;重叠就在下格填,右上出框一个样。罗伯法不仅可以编排三阶幻方,而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方,请大家在方格子中跟着做一、二次,并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。三、巴舍法下面以五阶幻方为例,再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。步骤如下:①先画出一个5×5(五行五列)的方格,在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格(如下图1)②把1~25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中(如上图2);③以3、15、23、1

5、1四个数为顶点(实际上就是五阶幻方的四个顶点)画出一个正方形;④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下,下移上;左移右,右移左”的方法,全部平移5格到对应部分的方格中,擦掉虚线格子,就得到一个五阶幻方(见下图)。这种编排幻方的方法叫“巴舍法”,也叫平移补空法,它和“罗伯法”一样,也适用于一切的奇数阶幻方的编排。需要提醒大家注意的是,在步骤②中,填写1~25这二十五个数时,可以从左向右上填写,也可以从右向左上填写,或者从上向右下填写,还可以从上向左下填写,其移动后的结果都是一个五阶幻方,同学们可以自

6、己动手试一试。另外,编排n阶幻方时,不一定非要从1开始,只要是这些数能构成等差数列就可以了。练习(一定要完成的哦)1、使用“罗伯法”将4~12编排一个三阶幻方。2、用“罗伯法”将、、、、、、、、编成一个三阶幻方。3、使用“巴舍法”将1~49编排一个七阶幻方。双偶数阶幻方的编排方法一、中心对称交换法例1、用1~16这十六个数编排一个四阶幻方(四行四列)。【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方,就是把1~16这十六个数填入四行四列的方格内,使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。先计算这个相等的和

7、是多少?也就是前面学过的幻和:(1+2+3+…+15+16)÷4=34。再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。①先把1~16按顺序填入4×4的方格中(如下图A);我们把图A称为四阶自然方阵。这时可以发现,两条对角线上的四个数的和都恰好是34,其它每行、每列上四个数的和都不是34,因此,这两条对角线上的八个数都不动,作为四阶幻方两条对角线上的数。②观察自然方阵(图A)中的第一列和第四列。第一列上四个数的和是1+5+9+13=28,比34少6;第四列上四个数的和是4+8+12+16=40,比34

8、多6。为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34,只要把这两列中对角线以外的相应的数(即5和8,9与12)相互交换就可以了(图B)。同样地,为使第二、三列上的四个数的和也是34,只要把这两列中对角线以外的相应的数(即2与3,14与15)相互交换就可以了(图C)。③再观察上图C的第一、第四行。第一行上四个数的和是1+3+2+4=10,比34少24;第四行上四个数的和是13+15+14+16=58,比34多24。为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34,只

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