一般函数无穷积分的收敛判别法.ppt

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1、§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质本节讨论了无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法收敛的充要条件是一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1性质1任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.性质2h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若再由柯西准则的充分性,二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f在任何收敛的充要条件是:

2、证设定理11.3(非负函数无穷积分的比较判别法)在上的两个非负函数f,g在任何有限区增函数的收敛判别准则,从而F(u)是单调递增的由单调递间[a,u]上可积,且存在满足设定义证由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是定义在上的非负连续函例3证推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且由于证即推论2设f是定义在上的非负函数,在任何限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.例4讨论的收敛性(k>0).解(i)无穷积分以下定

3、理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法若f在任何有限区间[a,u]上可积,定理11.4(绝对收敛的无穷积分必收敛)证因此再由柯西准则的充分性,又对任意由柯西准则的必要性,对因收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判别法）证故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.使得因此,由柯西准则，定理11.6(阿贝尔判别法)证[证法1]由g的单调性,用积分第二中值定理，任意的使得由柯西准则,[证法2]由狄利克雷判别法例6的收敛性.解对收敛.收敛,所以由狄利克雷判别法知另一方面，狄利克雷判别

4、法条件，是收敛的；类似可证复习思考题反之呢?作业：P275：4(3，4，5)；5(1，4)；7