一阶线性微分方程及其解法.ppt

《一阶线性微分方程及其解法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、二、可分离变量的微分方程则称方程（1）为可分离变量的微分方程.解法一阶微分方程的一般形式：若方程（1）可以写成如下形式：变量分离两端积分可以验证:(1.4)式为微分方程(1)的(隐式)通解.注:若题目只需求通解，则不必讨论例1求微分方程解分离变量两端积分C例2求微分方程解分离变量两端积分C注意到:当C=0时即y=0也是方程的解应用:衰变问题:放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中铀含量M(t)随t的变化规律解变量分离两端积分即又故故,衰变

2、规律为练习12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程变量分离两端积分即又练习:12.2第3题两边求导得:变量分离注意:这里隐藏一个初始条件利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为例6变量代换是解方程的一种常用的手段二、齐次方程形如的一阶微分方程称为齐次方程或解法：针对齐次方程，作变量代换即，则将其代入原式，得：，即这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；然后，利用分离变量法求得例1求方程的通解解原方程化为,即这是齐次方程，令,即故代入得：进行分离变量整理，并两边积分，故所求通解为：这是关于变量u与x的可分离变量方程，得：书上还有

3、一个例子，自己可以练习练习求微分方程，满足初始条件的特解解：方程可化为：它是齐次方程。令代入整理后，有分离变量，则有两边积分，得即代入上式，于是所求方程的通解为把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为例3求方程的通解解：这是一个齐次方程。先将方程变形为令,即，故代入得：这是关于变量u与x的可分离变量方程，分离变量，并两边积分，得：故所以，原方程通解为：五、小结本节主要内容是：1．齐次方程2．齐次方程的解法：关键是令，从而原方程转化为可分离变量方程去求解；，则，代入原方程后，或判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法例1在微分方程中

4、，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。1.一阶线性微分方程的定义（是）（是）2.一阶线性微分方程的一般式3.一阶线性微分方程的分类当时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程。当时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程。或齐次线性方程的通解为：1º齐次线性方程：求解法:分离变量：1.常数变易法2º非齐次线性方程：作变换可分离变量方程积分得一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:2.常数变易公式（2）一阶线性非齐次微分方程常数变易法1）一般式2）解法3）通解公式齐次的通解非齐次的特解关于通解公式要注意：只表示某一个函数若时，绝对值符号可

5、不写即特别注意：而是例1、求微分方程的通解.解法1（常数变易法）原方程变形为:对应的齐次方程为：得通解为设原方程的解为从而代入原方程得化简得两边积分，得所以，原方程的通解解法2（用公式法）把它们代入公式得解例2则通解为解练习则通解为原方程变形为其中解(不)例4通解：因此方程满足初始条件的特解为(讲)求以下方程在下的特解原方程可化为：原方程通解为：或求方程通解：若化为：则不是一阶线性的而化为：则是一阶线性的再见书上习题解例9(方法1)一阶非齐次线性方程选择题考点（间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序）大题考

6、点1、求极限2、隐函数求导（一个方程和方程组情形）3、抽象函数求导4、求极值5、直角坐标系下计算二重积分6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）7、解齐次方程（令U=。。，转化为U和X的方程）8、解一阶线性方程（用公式或常数变易法）9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性解两曲线的交点面积元素选为积分变量例画草图如右xyo注：，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定点P0时，都有f(P)A求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则）等价无穷小替换；对于多元

7、函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过换元后的一元函数照样可用例求或用重要公式原式例求无穷小的性质设确定两边对x求偏导数：再对上式对x求偏导数：（按商的求导公式）对于一阶偏导数，还可用公式法例1讨论(1)连续；(2)偏导数存在；(3)可微.解(1)=0=f(0,0)(2)(3)？则rrwrr22)(0)(0limlimyxxyxyxy+==®=®例2证令则同理故函数在点(0,0)处连续;下面证明：可微.令则注此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.而非必要条件.例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(

8、1,0),(1,2),(–3,0),(