资源描述：
《函数列与函数项级数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性(一)教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二)教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2)较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别
2、法．(三)教学建议：(1)要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2)对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I上的函数列，设，若数列收敛，则称函数列在点收敛，称为函数列收敛点；若数列发散，则称函数列在点发散。使函数列收敛的全体收敛点集合称为函数列收敛域（注意定义域与收敛域的区别）。若函数列在数集上每一点都收敛，则称函数列在
3、数集D上收敛，这时D上每一点，都有函数列的一个极限值与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列的极限函数。逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“”定义.例1对定义在内的等比函数列,用“”定义验证其收敛域为,且例2.用“”定义验证在内.函数列的一致收敛性：设函数列在E上收敛于，若对任意的，存在自然数，当时，对E中一切都有则称函数列在E上一致收敛于。注意这里的N只与有关，与x无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。一致收敛的几何意义对任给的-带，总存在一个N，时，的图形全部落入这个-带内。一致收敛情况图示f(x
4、)fn(x)对任意，n充分大时，将全部落入－带以内。收敛但不一致收敛的几何意义：对任意，，但存在一个，对任意的N，都可找到一个，尽管，但总有一部分落在带以外。f(x)fn(x)例证明函数列在上收敛但不一致收敛证明1）函数列在上收敛。显然对任意的，2）但不一致收敛于0先看一看函数列的图象（图中给出的是n＝8，20，50的情况）clf,x=0:1/100:1;y1=8*x./(1+64*x.^2);y2=20*x./(1+400*x.^2);y3=50*x./(1+2500*x.^2);plot(x,y1,x,y2,
5、x,y3,'linewidth',2)holdonplot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b')axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6])legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')可以看出，对于，无论n再大，的图象总有一部分落在－带以外。事实上存在，，所以该函数列是不一致收敛的。例函数列在上不一致收敛，但在上一致收敛。先看看该函数列的图象clf,x=0:1/100:1;y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50;plot(x
6、,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)对于，不管n再大，的图象总有一部分落在－带以外。事实上，我们容易看出充分大时，所以该函数列在上不一致收敛。再看看该函数列在上的图象clf,x=0:1/100:0.7;y1=x.^13;y2=x.^18;y3=x.^20;plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),holdonplot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r')plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m'
7、)axis([0,0.71,-0.01,0.02])对任意的，总存在N,当n>N时，的图象将全部落入－带之内。事实上，，所以，该函数列在上是一致收敛。函数项级数及其一致收敛性定理13.1(一致收敛的Cauchy准则)函数列一致收敛的充分必要条件是：对任意，存在某一自然数，当时，对一切，都有证(利用式)易见逐点收敛.设,……,有.令,对D成立,即,，D.定理13.2函数列一致收敛的充分必要条件是：推论设在数集D上,.若存在数列D,使,则函数列在数集D上非一致收敛.应用此判断函数列在数集D上非一致收敛时,常作辅助函数
8、―取在为数集D上的最值点.例7对定义在区间上的函数列证明:,但在上不一致收敛.证时,只要,就有.因此,在上有.,.于是,在上有.但由于,,因此,该函数列在上不一致收敛.例判别下面函数列在区间上的一致收敛性1)2)解1）所以，函数列在区间上一致收敛。2）求极大点方法可求得函数列在上不一致收敛。例.证明在R内,但不一致收敛.证显然有,在点处取得极大值,.不一致收敛.例6.证明
