泊松公式的解.doc

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1、圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题—泊松积分公式在第二章的中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系.在这一节中，我们将继续阐述这种联系.具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值.例如，一半径为1的圆柱体充满导热的物质.我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数T(r,)来描述的.若圆柱体表面的温度是已知的，是由sincos所给定的，由于T(r,)在0≤r≥1,0≤≥2上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函

2、数T(r,)，使得T(1,)=sincos.这就是我们所要解的迪利希莱问题.我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法.这种方法将在以后讨论.在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况.一．圆的迪利希莱问题对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的.考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆.设f(z)是在圆周=R上及其内解析的函数.对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z，我们有f(z)=dw.

3、(2-25)令z=，它位于过圆点和点z的射线上，且=>R，因此，位于圆R的外部.于是，由柯西定理，我们有0=dw=.(2-26)将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得f(z)=(2-27)令w=Re，z=re,于是.将它们代入(2-27)式，我们有f(z)=.将分子和分母同时乘以，则分子=R，分母=(Re，于是，最后我们有f(z)=现将解析函数f(z)表示成其实部U和V，于是，f(re,f(Re,上述方程成为U(r,由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson）公式U(r,(2-28)对V(r,与V(R,，

4、我们也有类似的公式.泊松积分公式（2-28）是重要的.这个公式告诉我们：当U在圆周上的取值U(R,已知时，则调和函数U(r,在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出.由于我们要求f(z)在这半径为R的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,是连续的.事实上，这条件可放宽成允许U(R,有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立.例设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半.上半管（R=1，0<<）保持1伏特的电位，下半管（R=1，）保持-1伏特的电位.求在管内任何一点（r，）的势.解由于电位势是个调和函数，因此

5、泊松公式是可用的.由公式（2-28），R=1，我们有U(.（2-29）在每个积分中，我们作变数变换x=,并利用下述积分公式.(2-30)取a=1+r，b==-2r，我们得到U(r,.由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得U(r,对一切r<1是连续的和U（1,仅在裂缝=0和时是不连续的.二．对于半平面的迪利希莱问题我们的问题是要在上半平面上求一个函数,使得它在上半平面(>0的区域)上是调和的,而在实数轴=0上必须满足欲先给定的边界条件.设在上是解析的.考虑闭围道,它由半径为R的上半圆周和实数轴上的线段所组成.令z是C內

6、任何一点，由柯西积分公式，我们有.(2-32)由于z位于上半平面，则必位于下半平面，因此，它必在C的外部.于是，据柯西定理，有.(2-33)将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得=.令z=x+iy，则.上式右端的第二个积分I等于.（2-35）记（2-34）右端的第一个积分为I，在上，我们有若在上半平面v上，则得.于是，对任意给定的点z，我们有.(2-36)由于（2-34）式对任何C都是成立的，因此,我们有.将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示f(z)=，f(w)=，由（2-37）式，我们有=于是，取实部，我们既得对上半平

7、面的泊松积分公式:（2-38）关于与也有相似的公式.当在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了调和函数在上半平面内每一点的值.我们能证明，在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的.若没有这个限制，还能找到其他的解.在我们的推导过程中，我们假定，是在闭上半平面上解析的函数f(u,v)的实部，这要求方程（2-38）中的函数对0上，温度保持在0，而在边界v=0,u<0，上，

8、温度保持在.求整个导体的稳定的温度分布.解我们知道，温度是一个调和函数，泊松积分公式（2-38）是直接可用的.我们有，又，于是第二个积分