球面平均法和泊松公式

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1、§7.2球面平均法和泊松公式一本节主要思想（1）对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点的振动，然后以点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面的平均振动，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令，即可得到点的振动．（2）对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解．二三维波动方程的初值问题，泊松公式１三维波动方程初值问题解的泊松公式考察三维波动方程的初值问题：以表示以点为心，半径为

2、的球面，以表示的面元，则的面元．注：下面用加权平均的思想（即球面平均法）求函数在球面上的平均值：注：（4）、（5）实际上是球的参数方程的表达式（3）式也可写成，注：由于，与正好约掉．由此可知，所以，为了求可以先求下面就来讨论如何求：注意到，容易算得同理，可求出，将他们相加，得到注：将方程（1）两端取球面平均，即得等式两边同乘以得（6）注：与时间无关，所以可将放入算子中这是关于的一维波动方程，其通解为（7）令，得从而知，故有（8）注：①的取值范围应是②我们所关心的是的情况，因为此时表明振动已传至所考察的球面，若，表明振动还未传至所考察

3、的球面，这样就无法考察点的振动．为求，将上式对求导，得（9）令，即得（10）所以，为求，只需求为此将（8）式再对求导，得．（11）由（9）、（11）两式得（12）在上式中令，并注意到（3）式和初始条件（2）式，即得注意到（10）式，在上式中令，即得三维波动方程初值问题（1）、（2）的解为（13）（13）式称为泊松公式．