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时间:2020-03-14
《2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质课后课时精练新人教A版选修2.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2双曲线的简单几何性质A级:基础巩固练一、选择题1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值为( )A.-B.-4C.4D.答案 A解析 双曲线的标准方程为y2-=1,∴a2=1,b2=-.由题意,得b2=4a2,∴-=4,∴m=-.2.已知双曲线-=1的一条渐近线为y=x,则实数a的值为( )A.B.2C.D.4答案 D解析 由题意,得=,所以a=4.3.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若
2、PF1
3、=3,则
4、PF2
5、=( )A.1或5B.6C.
6、7D.9答案 C解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,∴=,∵b=3,∴a=2.又
7、
8、PF1
9、-
10、PF2
11、
12、=2a=4,∴
13、3-
14、PF2
15、
16、=4.∴
17、PF2
18、=7或
19、PF2
20、=-1(舍去).4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( )A.B.C.D.答案 D-6-解析 将y=kx+2代入x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0,则即∴-21、B=( )A.B.C.D.与P点位置有关答案 A解析 设A(x0,y0),B(-x0,-y0),P(x,y),∴kPA·kPB=·====.故选A.6.已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m1D.mn.又(e1e2)2=·=·==1+>1,所以e1e2>1.二、填空题7.与双曲线x2-=1有共同的渐22、近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________.答案 -=1解析 依题意,设双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ=3,所以所求双曲线的标准方程为-=1.-6-8.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则+=________.答案 4解析 如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义:∴23、PF124、=a1+a2,25、PF226、=a1-a2,设27、F1F228、=2c,∠F1PF2=,则在△PF1F2中,由余弦定理29、得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)·cos,化简得a+3a=4c2,该式可变形为+=4,∴+=4.9.已知F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则30、PF31、+32、PA33、的最小值是________.答案 9解析 因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线的定义得34、PF35、-36、PF′37、=2a=4.而38、PA39、+40、PF′41、≥42、AF′43、=5.两式相加得44、PF45、+46、PA47、≥9,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立.由双曲线的图象可知当点A,P,F′共线时,满足48、49、PF′50、+51、PA52、最小,易求得最小值为53、AF′54、=5,故所求最小值为9.三、解答题10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为4,且过点(-3,2).(1)求双曲线方程与其渐近线方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C有且只有一个公共点,求所有满足条件的实数k的取值.解 (1)由题意得解得-6-∴双曲线方程为x2-=1,其渐近线方程为y=±x.(2)由得(3-k2)x2-4kx-7=0,若3-k2≠0,由题意得Δ=16k2+28(3-k2)=0,∴k2=7,∴k=±.若3-k2=0,即k=±,则直线l与双曲线C的渐近线y=±x平行,此55、时直线l与双曲线C只有一个公共点,∴k=±或k=±.B级:能力提升练1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=x对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.解 (1)由消去y得,(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意即-56、a·+1=0.解得a=±1且满足②.(2)假设存在实数a,使A,B关于y=x对称,则直线y=ax+1与y=x垂直,∴a=-2.直线l的方
21、B=( )A.B.C.D.与P点位置有关答案 A解析 设A(x0,y0),B(-x0,-y0),P(x,y),∴kPA·kPB=·====.故选A.6.已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m1D.mn.又(e1e2)2=·=·==1+>1,所以e1e2>1.二、填空题7.与双曲线x2-=1有共同的渐
22、近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________.答案 -=1解析 依题意,设双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ=3,所以所求双曲线的标准方程为-=1.-6-8.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则+=________.答案 4解析 如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义:∴
23、PF1
24、=a1+a2,
25、PF2
26、=a1-a2,设
27、F1F2
28、=2c,∠F1PF2=,则在△PF1F2中,由余弦定理
29、得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)·cos,化简得a+3a=4c2,该式可变形为+=4,∴+=4.9.已知F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则
30、PF
31、+
32、PA
33、的最小值是________.答案 9解析 因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线的定义得
34、PF
35、-
36、PF′
37、=2a=4.而
38、PA
39、+
40、PF′
41、≥
42、AF′
43、=5.两式相加得
44、PF
45、+
46、PA
47、≥9,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立.由双曲线的图象可知当点A,P,F′共线时,满足
48、
49、PF′
50、+
51、PA
52、最小,易求得最小值为
53、AF′
54、=5,故所求最小值为9.三、解答题10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为4,且过点(-3,2).(1)求双曲线方程与其渐近线方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C有且只有一个公共点,求所有满足条件的实数k的取值.解 (1)由题意得解得-6-∴双曲线方程为x2-=1,其渐近线方程为y=±x.(2)由得(3-k2)x2-4kx-7=0,若3-k2≠0,由题意得Δ=16k2+28(3-k2)=0,∴k2=7,∴k=±.若3-k2=0,即k=±,则直线l与双曲线C的渐近线y=±x平行,此
55、时直线l与双曲线C只有一个公共点,∴k=±或k=±.B级:能力提升练1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=x对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.解 (1)由消去y得,(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意即-56、a·+1=0.解得a=±1且满足②.(2)假设存在实数a,使A,B关于y=x对称,则直线y=ax+1与y=x垂直,∴a=-2.直线l的方
56、a·+1=0.解得a=±1且满足②.(2)假设存在实数a,使A,B关于y=x对称,则直线y=ax+1与y=x垂直,∴a=-2.直线l的方
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