2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑术语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件讲义新人教A版选修2.doc

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1、1．2.2　充要条件充要条件(1)充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要

2、条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)(2)逻辑联结符号“⇔”具有传递性．(　　)(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√-8-　　　　　　　　　　　　　　　　2．做一做(1)(教材改编P12练习T2)设a，b∈R，则“a＋b>2”是“a>1且b>1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)“x2<1”的充要条件是_____________________________________________．(3)“x2－1＝0

3、”是“

4、x

5、－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(4)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案　(1)B　(2)－12，而a<1，故a＋b>2a>1且b>1.而a>1且b>1⇒a＋b>2.故选B.-8-　　　　　　　　　　　　　　　　探究1　　充要条件的判断例1　下列各小题中，p是q的充要条件的是(　　)①p：m<－2或m>6，q：y＝x2＋mx

6、＋m＋3有两个不同的零点；②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③C．③④D．①④[解析]　①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)>0⇔m<－2或m>6⇔p.②f(x)＝0时，qp.③若α，β＝kπ＋(k∈Z)，此时有cosα＝cosβ，但没有tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A⇔A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB，∴①④中，p是q的充要条件．[答案]　D拓展提升判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：验证

7、由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．【跟踪训练1】　已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？-8-解　作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r

8、，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.探究2　　充要条件的证明例2　设a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．求证：a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.[证明]　充分性：∵A＝2B，∴A－B＝B，则sin(A－B)＝sinB，则sinAcosB－cosAsinB＝sinB，结合正弦、余弦定理得a·－b·＝b，化简整理得a2＝b(b＋c)；必要性：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，且a2＝b(b＋c)，得b2

9、＋bc＝b2＋c2－2bccosA，∴1＋2cosA＝＝，即sinB＋2sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinB＝sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)，由于A，B均为三角形的内角，故必有B＝A－B，即A＝2B.综上，知a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.[结论探究]　如果把例2中问题改为“求证A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°”，怎样解答？证明　充分性：在△ABC中，A＋B＋C＝180°，又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴A＋C＝2B.∴A，B，C成等差

10、数列．必要性：A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B.又∵A＋B＋C＝180°，即3B＝180°，∴B＝60°.综上得A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.-8-拓展提升充要条件的证明证明“充要条件”一