高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型基础.doc

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1、几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有

2、．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（

3、越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少

4、后增长的特点时，可以选用二次函数．（3）指数函数模型（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1．（1）已知函数，分别求在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的

5、零点及总个数．（2）比较2x与x2的大小关系．（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系．【答案】（1）3（2）略（3）略【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．（1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表．x…－2－10246y=2x…0.250.5141664y=x2…41041636y=2x－x2…－3.75－0.510028x810121416…y=2x256102440961638465536…y=x26410014196256…y=2x－x

6、219292439521618865280…应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．∴共有3个零点，分别为x1≈－0.7666，x2=2.000，x3=4.000．（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示．当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；当x∈（－0.7666，2.000）时，2x＞x2；当x=－0.7666时，2x=x2；当x∈（2.000，4.000）时，2x＜x2；当x=2.000时，2x

7、=x2；当x∈（4.000，+∞）时，2x＞x2；当x=4.000，2x=x2．（3）当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；log2x不存在；当x∈（－0.7666,0）时，2x＞x2；log2x不存在；当x=－0.7666时，2x=x2；当x∈（0，2.000）时，log2x＜x2＜2x；当x∈（2.000，4.000）时，log2x＜2x＜x2；当x=2.000时，log2x＜2x=x2；当x∈（4.000，+∞）时，log2x＜x2＜2x；当x=4.000时，log2x＜x2=2x．【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函

8、数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x0，使得当x＞x0时，logax＜xn＜ax（a＞1）恒成立．但在（0，x0）上，该不等式不一定成立．举一反三：【变式1】（2015北京高考）