集合的变换和变换乘法.ppt

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1、近世代数第二章群论§5变换群8/27/2021研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。8/27/2021一、集合的变换和变换乘法1变换：设是一个非空集合，若是就称是的一个变换.到上的映射2变换集合：由的全体变换做成的集合，由的全体一一变换做成.记为的集合记为8/27/20214变换乘法是的代数运算，也是的

2、代数运算.5恒等变换：，3变换乘法：，规定，称为的乘法.8/27/2021二、变换群的概念例1设．的全部变换如下问：（1）关于变换乘法是否做成群？关于变换乘法是否做成群？（2）8/27/2021解：（1）非空、代数运算、结合律都满足，事实上，就没有逆元.因为如果有逆元.那么必有且.但是而导致矛盾，故没有逆元.不能成为群.有单位元.那么“逆元”问题能解决吗？因此8/27/2021（2）非空、代数运算、结合律都满足，，的逆元是的逆元是自身.因此例2设，并取定，则易知是的一个非一一变换，，从而关于变换乘法做成群.有单位元成为群..8/27/2021定义1设的若干一一变换关于变换的乘法做成的一

3、个一一变换群；的若干非一一变换关于变换的乘法做的一个非一一变换群.是一个非空集合，则的若干变换关于变换的乘法做成的群，的一个变换群；由称为由的群，称为由成的群，称为8/27/2021定理设为非空集合，构成的一个变换群.关于变换的乘法证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的互逆的一一映射.8/27/2021定义2称集合上的一一变换群为上的对称群；时，其上的对称群用表示，称为n次对称群.当显然：n次对称群是一个阶为的有限群.8/27/2021例例3.令，，则做成的一个，规定，则做成的一个上的对称群.非一一变换群.例4.令一一变换群，但不是（单位元）（单

4、位元）8/27/2021定理(凯莱定理)任何群都能同一个一一变换群同构.证：设是任意一个群,，规定的一个变换,易知是一个一个一一变换.令，则，，，所以是同构映射.所以.8/27/2021以上定理及推论表明:任何抽象群都可以找到某个具体的群与它同构.8/27/2021