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时间:2020-03-11
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1、2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案一、填空题(本题共10小题,每小题7分,共70分)1.已知向量,则向量与的夹角等于.答案:2.已知集合,且,则实数的取值范围是.答案:3.已知复数,其中是虚数单位,则.答案:4.在平面直角坐标系中,设分别是双曲线的左,右焦点,是双曲线右支上一点,是的中点,且,则双曲线的离心率为.答案:5.5.定义区间的长度为.若函数的定义域为,值域为,则区间的长度的最大值与最小值的差为.答案:3.6.若关于的二次方程的两个互异的根都小于1,则实数的取值范围是.答案:7.若
2、,则.答案:8.棱长为2的正方体-在空间坐标系-中运动,其中顶点保持在轴上,顶点保持在平面上,则长度的最小值是.答案:9.设数列满足:,成等比数列.若,则满足条件的不同的数列的个数为.答案:15099.10.对于某些正整数,分数不是既约分数,则的最小值是.答案:二、解答题:(本大题共4小题,每小题20分,共80分)11.设数列满足:①,②,③求证:(1)数列是递增数列;(2)对如图任意正整数,证明:(1)因为且,所以.所以所以数列是递增数列.(2)因为所以当时,又所以对任意正整数,12.在平面直角坐标系
3、中,设椭圆,直线若椭圆的离心率为,原点到直线的距离为(1)求椭圆与直线的方程;(2)若椭圆上三点到直线的距离分别为,求证:可以是某三角形三条边的边长.解:(1)由题设条件得,从而故所求的椭圆.直线(2)设,则其中所以又故因为所以可以是某个三角形的三条边的边长.13.如图,圆是四边形的内切圆,切点分别为与交于点与交于点,与交于点,与交于点.求证:四边形是平行四边形.证明:连接因为圆是四边形的内切圆,所以是的平分线,且在△中,由三线合一,点是线段的中点.同理点是线段的中点,所以.同理.所以四边形是平行四边形
4、.14.求满足的所有素数和解:满足题设条件的素数只有假设则所以,即又因为,且为素数,而从而这与矛盾.所以因为是素数,所以或当时,,即所以当时,所以或,或经检验,,或,或时,所以满足条件的素数只有
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