线性代数第3版 教学课件 作者 陈建华 13行列式展开.ppt

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1、1.3行列式的展开定理设一、行列式按某行(列)展开1.两个概念(1)元素aij的余子式：在中划去元素aij所在的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记Mij(2)元素aij的代数余子式：例M32＝Aij＝(－1)i+jMijA23=(-1)2+3M23=2.行列式按某行(列)展开定理证明思路:先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转化为特殊情形完成.证①先证ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAina1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj②次证i行逐一向下交换经n－i次至末行j列逐一向右交换经n－

2、j次至末列D＝(－1)i＋jaijMij＝aijAij＝(－1)i＋jaijMnn¢由①③最后证毕＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin由②5典型例题:例1.计算解:法1(化上三角形法)计算方法——D－＝57化上(下)三角形法;降阶法.?！法2(降阶法)D＝57=(-1)1+1=(-1)3+1利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理.例：=10=(-1)2+2=5×(-1)2+38例2计算行列式首列元素全是1,第一

3、行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规律[分析]利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(－1)倍,按首列展开后再使用该手法解：例3计算4阶范德蒙(Vandermonde)行列式[分析]相邻两行元素较接近!末行始,后一行加上其前行的(-x1)倍,a11下面元素都变为0,按首列展开=(－1)n+1xn-2按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的(－x2)倍,…解：=(x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－

4、x3)13可以证明n阶“范德蒙行列式”3.推论:行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即第s行理解：第s行＝0ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t)综合定理及推论得“代数余子式的重要性质”:例4设＝0，计算A41+A42+A43+A44[=a31A41+a32A42+a33A43+a34A44][分析]注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将A31+A32+A33与A34+A3

5、5分别看成整体，列方程组求解。解:，求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例5设a21A31+a22A32+a23A33+a24A34+a25A35＝0a41A31+a42A32+a43A33+a44A34+a45A35＝02(A31+A32+A33)+(A34+A35)＝0(A31+A32+A33)+2(A34+A35)＝0A31+A32+A33=0A34+A35=0解:D=例6设，计算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34A44＝0a41A41+a42A42+

6、a43A43+a44A44＝D(－1)＝6A41+A42+2A43+3A44＝02A41+2A42+3A43+4A44＝D两式相减得A41+A42+A43+A44＝D＝(－6)二、行列式按某k行(列)展开(k=1的特例即是一)1.几个概念(1)k阶子式：任选k行k列k阶行列式，记M(aij是行列式的一阶子式)(2)k阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列n－k阶行列式，记M¢(3)k阶子式的代数余子式:2.行列式按某k行(列)展开定理(拉普拉斯定理)：的所有k阶子式(共个)与各自的代数余子式的乘积之和等于D.即

7、：行列式D中任意选定k行(1≤k≤n),这k行元素组成D＝M1A1＋M2A2＋…＋MtAt()例7用拉普拉斯定理计算行列式解：＝1×(－3)＋(－15)(－1)(－4)＋(－9)(－8)＝9例8计算行列式解：法二.按第五列展开后再法一.按末三行展开＝20×(－54)＝－1080按第一列展开应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:前一式按前k行展开后一式按前k列展开