线性代数第3版 教学课件 作者 陈建华 35向量空间.ppt

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1、1.是的线性组合(可由线性表示)2.任一n维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:有解(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合复习：2021/10/81第二章线性方程组有非零解(无)(只有零解)r

2、关整体相关；整体无关部分无关定理4.短无关长无关；长相关短相关.定理6.线性无关，线性相关可由唯一线性表示.定理1.n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数>向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.定理8.向量组与其极大无关组等价.推论向量组的任意两个极大无关组等价定理7.向量组(I)可由(II)，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示定理9向量组可由线性表示,若t>s，则线性相关.(记：多的可由少的线性表示，多的线性相关)推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等推论1(逆否命题)推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等

3、.线性表示线性无关，且可由定理10推论：等价的向量组秩相等.可由线性表示≤五、向量组的秩与矩阵的秩的关系2.3向量组的秩一、极大无关组二、等价向量组三、向量组的秩四、典型例题矩阵的行秩:矩阵的行向量组的秩矩阵的列秩:矩阵的列向量组的秩定理11矩阵A的行秩＝矩阵A的列秩＝矩阵A的秩(“三秩相等”定理)由“重要结论:行变换不改变列向量间的线性关系”理解定理:初等行变换行阶梯形,r(A)=行阶梯形矩阵非零行的行数=A的列秩=A的行秩同理(加法、数乘封闭)一、向量空间概念3.4向量空间定义实数域R上的n维向量构成的非空集合V满足:(1);(2)则称V为实数域R上的向量空间.L

4、＝{o}称为零空间.是一个向量空间.不是向量空间.例:实数域R上的所有n维向量的集合，记Rn.平面直角坐标系中,点P对应有向线段——二维向量.两向量的和、实数与向量的积仍是二维向量.所有二维向量的集合——二维向量空间R2——即整个坐标平面.三维向量空间R3为普通几何空间.“基与坐标”概念的背景：设某三维向量坐标为：则有:即:任一三维向量的坐标即为该向量用三维向量空间R3的极大无关组线性表示时的组合系数.称为R3的一组基.推广:R3的任一极大无关组称作R3的一组基(秩即为空间的维数),(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)xyz一般地,可对n维向量空间Rn定义基、维

5、数、坐标:某三维向量由其线性表示时的组合系数称作该向量在这组基下的坐标.二、基、维数与坐标定义设V是向量空间,若向量组满足(1)线性无关;(2)V中任一向量都可由线性表示.则称为空间V的一组基，n称为V的维数，记dimV=n，并称V为n维向量空间.若则称(a1,a2,…,an)为关于基的坐标.注:(1)某n个向量是Rn的基其排成的行列式值≠0(2)n维向量关于某一组基的坐标唯一.(3)标准基:关于标准基的坐标为(a1,a2,…,an)同时可证明到线性无关!例1证明是R4的一组基，并求向量在这组基下的坐标.解直接将向量表示为的线性组合!线性无关，且即是一组基,向量在其下

6、的坐标为(加法、数乘封闭)三、子空间及其维数定义设V是向量空间，W是V的非空子集，若W关于V的加法和数乘运算也构成向量空间，则称W是V的一个子空间。规定:零子空间的维数＝00≤dimL≤dimV向量空间是R3的一个子集(——3维几何空间中过原点的一平面上全体向量),称为R3的一个子空间。一般地，有{o}与V称为V的平凡子空间，V的其他子空间称为非平凡子空间.是的子空间，其维数dimW＝,一组基:2R3则：是向量空间，称为Rn的由生成的子空间.的任一极大无关组均为基.注:(1)区分的维数与向量的维数!例2设∈Rn，用表示的一切线性组合形成的集合，即:(2)等价向量组生成

7、同一向量空间。P99:例15求生成子空间的维数和一组基例3设A=(aij)m×n,AX＝O的全体解向量的集合为L(1)若r(A)＝n，则：AX＝O只有零解,L＝{o}；(2)若r(A)＝r